Symetria Gauge (matematyka)

W matematyce, każdy układ Lagrangiana ogólnie przyznaje symetrie gauge, choć może się zdarzyć, że są one trywialne. W fizyce teoretycznej pojęcie symetrii cechowania zależnych od funkcji parametrów jest kamieniem węgielnym współczesnej teorii pola.

Symetria gauge’a Lagrangianu L {{displaystyle L}} jest zdefiniowana jako operator różniczkowy na pewnej wiązce wektorowej E {displaystyle E} przyjmujący wartości w liniowej przestrzeni (wariacyjnych lub dokładnych) symetrii L {displaystyle L} . . Zatem, symetria gauge’a L {displaystyle L} zależy od odcinków E {displaystyle E} i ich pochodnych cząstkowych. Tak jest na przykład w przypadku symetrii gauge w klasycznej teorii pola. Przykładem klasycznych teorii pola z symetriami gauge’owymi są teoria Janga-Millsa i teoria grawitacji gauge’owskiej.

Symetrie gauge’owe posiadają następujące dwie osobliwości.

1. Będąc symetriami Lagrangianu, symetrie gauge’owe Lagrangianu spełniają pierwsze twierdzenie Noethera, ale odpowiadający im zachowywany prąd J μ {displaystyle J^{mu}} przyjmuje szczególną postać superpotencjalną J μ = W μ + d ν U ν μ {displaystyle J^{\u }=W^{\u }+d_{\u }U^{\u }} gdzie pierwszy człon W μ {{displaystyle W^{\u }} vanishes on solutions of Euler-Lagrange equations and the second one is a boundary term, where U ν μ {displaystyle U^{{}}} nazywany jest superpotencjałem.
2. Zgodnie z drugim twierdzeniem Noethera, istnieje jeden do jednego związek pomiędzy symetriami gauge’a Lagrangiana a tożsamościami Noethera, które spełnia operator Eulera-Lagrange’a. W konsekwencji symetrie gauge’a są zgodne z drugim twierdzeniem Noethera. W konsekwencji, symetrie gauge’a charakteryzują zwyrodnienie układu Lagrangiana.

Zauważmy, że w kwantowej teorii pola, funkcja generująca nie jest niezmiennicza przy przekształceniach gauge’a, a symetrie gauge’a są zastąpione symetriami BRST, zależnymi od duchów i działającymi zarówno na pola jak i na duchy.