Równania różniczkowe – Wartości własne i funkcje własne
Pokaż uwagę mobilną Pokaż wszystkie uwagi Ukryj wszystkie uwagi
Sekcja 8-2 : Wartości własne i funkcje własne
Jak zrobiliśmy to w poprzedniej sekcji, musimy ponownie zauważyć, że zamierzamy tylko krótko przyjrzeć się tematowi wartości własnych i funkcji własnych dla problemów wartości brzegowych. Istnieje całkiem sporo pomysłów, których nie będziemy tutaj analizować. Intencją tej sekcji jest po prostu dać ci pojęcie o temacie i wykonać wystarczająco dużo pracy, aby umożliwić nam rozwiązanie niektórych podstawowych równań różniczkowych cząstkowych w następnym rozdziale.
Teraz, zanim zaczniemy mówić o faktycznym temacie tej sekcji, przypomnijmy sobie temat z Algebry Liniowej, który krótko omówiliśmy wcześniej w tych notatkach. Dla danej macierzy kwadratowej (A), jeśli moglibyśmy znaleźć wartości ∗, dla których moglibyśmy znaleźć niezerowe rozwiązania, tj. ∗ (∗ x ∗ i ∗ 0 ∗), to nazwalibyśmy ∗ wartością własną macierzy (A), a ∗ (∗ x ∗) odpowiadającym jej wektorem własnym. Cóż, wróćmy do poprzedniego rozdziału i spójrzmy na Przykład 7 i Przykład 8. W tych dwóch przykładach rozwiązywaliśmy homogeniczne (i to jest ważne!) problemy BVP w postaci,
W Przykładzie 7 mieliśmy \(\lambda = 4\) i znaleźliśmy nietrywialne (tzn. niezerowe) rozwiązania BVP. W Przykładzie 8 użyliśmy \(\lambda = 3\) i jedynym rozwiązaniem było rozwiązanie trywialne (tzn. \(yleft( t \right) = 0\)). Tak więc, to jednorodne BVP (przypomnijmy, że oznacza to również, że warunki brzegowe są zerowe) wydaje się wykazywać podobne zachowanie do zachowania w równaniu macierzowym powyżej. Istnieją wartości \, które dadzą nietrywialne rozwiązania tego BVP i wartości \, które pozwolą tylko na trywialne rozwiązanie.
Tak więc, dla tych wartości \, które dają nietrywialne rozwiązania, będziemy nazywać \(\) wartością własną dla BVP, a nietrywialne rozwiązania będziemy nazywać funkcjami własnymi dla BVP odpowiadającymi danej wartości własnej.
Wiemy teraz, że dla jednorodnej BVP podanej w \(\) \(\lambda = 4\) jest wartością własną (z funkcjami własnymi \(y left( x \right) = {c_2}sin \left( {2x} \right)\)) i że \(\lambda = 3\) nie jest wartością własną.
W końcu spróbujemy ustalić, czy istnieją jakieś inne wartości własne dla \(\), jednak zanim to zrobimy, skomentujmy krótko, dlaczego w tej dyskusji tak ważne jest, aby BVP było jednorodne. W Przykładzie 2 i Przykładzie 3 z poprzedniej sekcji rozwiązywaliśmy jednorodne równanie różniczkowe
\
z dwoma różnymi niejednorodnymi warunkami brzegowymi w postaci,
\
W tych dwóch przykładach widzieliśmy, że przez prostą zmianę wartości \(a) i/lub \(b) byliśmy w stanie uzyskać albo nietrywialne rozwiązania albo wymusić brak rozwiązania w ogóle. W dyskusji nad wartościami własnymi/funkcjami własnymi potrzebujemy, aby rozwiązania istniały i jedynym sposobem zapewnienia takiego zachowania jest wymaganie, aby warunki brzegowe również były jednorodne. Innymi słowy, potrzebujemy, aby BVP było jednorodne.
Jest jeszcze jeden ostatni temat, który musimy omówić zanim przejdziemy do tematu wartości własnych i funkcji własnych i jest to bardziej kwestia notacyjna, która pomoże nam w niektórych pracach, które będziemy musieli wykonać.
Wtedy wiemy, że rozwiązaniem jest,
Pomimo, że nie ma nic złego w tym rozwiązaniu, zróbmy małe przepisanie tego. Zaczniemy od podzielenia terminów w następujący sposób,
\
Teraz dodamy/odejmiemy następujące terminy (zauważmy, że „mieszamy” \({c_i}) i \(\pm \, \alpha \) w nowych terminach), aby otrzymać,
Następnie, zmień trochę układ pojęć,
Na koniec, ilości w nawiasie współczynnik i będziemy przenieść położenie ułamka, jak również. Robiąc to, jak również zmieniając nazwy nowych stałych, otrzymujemy,
Cała ta praca wydaje się prawdopodobnie bardzo tajemnicza i niepotrzebna. Jednak naprawdę był ku temu powód. W rzeczywistości, być może już widziałeś ten powód, przynajmniej częściowo. Dwie „nowe” funkcje, które mamy w naszym rozwiązaniu, są w rzeczywistości dwiema funkcjami hiperbolicznymi. W szczególności, innym sposobem zapisania rozwiązania równania różniczkowego drugiego rzędu, którego wielomian charakterystyczny ma dwa rzeczywiste, różne korzenie w postaci \({r_1} = \alfa ,\, \, {r_2} = – \, \, \, \, \) jest,
\
Posiadanie rozwiązania w tej postaci dla niektórych (właściwie większości) problemów, które będziemy rozpatrywać, bardzo ułatwi nam życie. Funkcje hiperboliczne mają kilka bardzo fajnych własności, które możemy (i będziemy) wykorzystywać.
Po pierwsze, ponieważ będziemy ich potrzebować później, pochodne są,
Następnie spójrzmy szybko na wykresy tych funkcji.
Wykres o dziedzinie $-3 $ x 3$ i przedziale $0 $ y 6$. Wykres jest oznaczony jako $y=sinh \left( x \right)$. Wykres wygląda bardzo podobnie do wykresu $yh=x^{3}$, z wyjątkiem tego, że skala pionowa nie jest taka, jakiej byśmy oczekiwali dla $x^{3}$. Ponieważ często będziemy pracować z warunkami brzegowymi w punkcie x = 0, będą to przydatne wartości. Analogicznie, widzimy, że \sinh \left( x \right) = 0\) tylko wtedy, gdy \(x = 0\). Będziemy używać obu tych faktów w niektórych naszych pracach, więc nie powinniśmy o nich zapominać.
Dobra, teraz, gdy mamy już to wszystko z głowy, przepracujmy przykład, aby zobaczyć, jak znaleźć wartości własne/funkcje własne dla BVP.
Zaczęliśmy ten rozdział patrząc na to BVP i znamy już jedną wartość własną (\(\lambda = 4\)) i znamy jedną wartość \(\lambda \), która nie jest wartością własną (\(\lambda = 3\)). Aby wiedzieć, że znaleźliśmy wszystkie wartości własne, nie możemy po prostu zacząć losowo próbować wartości \ (\), aby zobaczyć, czy otrzymamy nietrywialne rozwiązania BVP dla tej konkretnej wartości \ (\).
Aby wiedzieć, że znaleźliśmy wszystkie wartości własne, nie możemy po prostu zacząć losowo próbować wartości \ (\), aby zobaczyć, czy otrzymamy nietrywialne rozwiązania, czy nie. Na szczęście istnieje sposób na zrobienie tego, który nie jest zbyt trudny i da nam wszystkie wartości własne/funkcje własne. Będziemy jednak musieli wykonać kilka przypadków. Trzy przypadki, na które będziemy musieli spojrzeć to : \(\lambda > 0\), \(\lambda = 0\), oraz \(\lambda < 0\). Każdy z tych przypadków daje specyficzną postać rozwiązania BVP, do którego możemy następnie zastosować warunki brzegowe, aby sprawdzić, czy otrzymamy nietrywialne rozwiązania, czy nie. Zacznijmy więc od tych przypadków.
(underline {{lambda > 0} })
W tym przypadku wielomian charakterystyczny, który otrzymujemy z równania różniczkowego to,
Więc biorąc to pod uwagę i stosując drugi warunek brzegowy otrzymujemy,
To oznacza, że musimy mieć jedną z poniższych sytuacji,
Przypominamy jednak, że chcemy mieć rozwiązania nietrywialne i jeśli mamy pierwszą możliwość to otrzymamy rozwiązanie trywialne dla wszystkich wartości ∗ (∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0). Oznacza to, że mamy,
\u2005326> Innymi słowy, korzystając z faktu, że wiemy, gdzie sinus jest zerem, możemy otrzymać drugie równanie.
Pozytywne wartości własne to,
a funkcje własne odpowiadające tym wartościom własnym to,
Zauważmy, że do wartości własnych i funkcji własnych dodaliśmy indeks \(n\), aby zaznaczyć fakt, że istnieje jedna dla każdej z podanych wartości \(n\). Zauważmy też, że zrezygnowaliśmy z oznaczenia funkcji własnych. W przypadku funkcji własnych interesuje nas tylko sama funkcja, a nie stała przed nią, więc zazwyczaj z niej rezygnujemy.
Przejdźmy teraz do drugiego przypadku.
W tym przypadku BVP staje się,
a kilkukrotne całkowanie równania różniczkowego daje nam rozwiązanie ogólne,
Zastosowanie pierwszego warunku brzegowego daje,
Zastosowanie drugiego warunku brzegowego oraz wyników pierwszego warunku brzegowego daje,
Tutaj, w przeciwieństwie do pierwszego przypadku, nie mamy wyboru, w jaki sposób uczynić to zero. Będzie to zero tylko wtedy, gdy \u2002} = 0\u2002.
Więc, dla tego BVP (i to jest ważne), jeśli mamy \u2002} = 0\u2003 jedynym rozwiązaniem jest rozwiązanie trywialne, a więc \u2002> nie może być wartością własną dla tego BVP. Wiemy więc, że,
Jednakże, ponieważ zakładamy tutaj, że są to teraz dwa rzeczywiste, odrębne korzenie i tak używając naszej pracy powyżej dla tego rodzaju rzeczywistych, odrębnych korzeni wiemy, że ogólnym rozwiązaniem będzie,
Zauważ, że mogliśmy użyć wykładniczej formy rozwiązania tutaj, ale nasza praca będzie znacznie łatwiejsza, jeśli użyjemy hiperbolicznej formy rozwiązania tutaj.
Teraz, zastosowanie pierwszego warunku brzegowego daje,
Zastosowanie drugiego warunku brzegowego daje, Dlatego, podobnie jak w drugim przypadku, musimy mieć \({c_2} = 0\).
Tak więc, dla tego BVP (znowu to jest ważne), jeśli mamy \(\lambda < 0\) otrzymujemy tylko trywialne rozwiązanie, a więc nie ma ujemnych wartości własnych.
Podsumowując, będziemy mieli następujące wartości własne/funkcje własne dla tego BVP.
Przyjrzyjrzyjmy się innemu przykładowi z nieco innymi warunkami brzegowymi.
Tutaj będziemy pracować z pochodnymi warunków brzegowych. Praca jest prawie identyczna jak w poprzednim przykładzie, więc nie będziemy się tutaj tak szczegółowo rozpisywać. Będziemy musieli przejść przez wszystkie trzy przypadki, tak jak w poprzednim przykładzie, więc zacznijmy od tego.
(\underline {{lambda > 0} \)
Ogólne rozwiązanie równania różniczkowego jest identyczne jak w poprzednim przykładzie, a więc mamy,
Zastosowanie pierwszego warunku brzegowego daje nam,
Przypominamy, że zakładamy tutaj, że \(\lambda > 0\), a więc będzie to zero tylko wtedy, gdy \({c_2} = 0\). Teraz, drugi warunek brzegowy daje nam,
\
Przypomnijmy, że nie chcemy rozwiązań trywialnych i że \u200585> 0\u2005> więc otrzymamy nietrywialne rozwiązanie tylko wtedy, gdy wymagamy, że,
\u2005326>Rozwiązując dla \u2005> i widzimy, że otrzymujemy dokładnie te same dodatnie wartości własne dla tego BVP, które otrzymaliśmy w poprzednim przykładzie.
Tak więc, dla tego BVP otrzymujemy cosinusy dla funkcji własnych odpowiadających dodatnim wartościom własnym.
Teraz drugi przypadek.
Rozwiązaniem ogólnym jest,
Zastosowanie pierwszego warunku brzegowego daje,
Używając tego rozwiązaniem ogólnym jest,
i zauważ, że będzie to trywialnie spełniać drugi warunek brzegowy,
Więc, w przeciwieństwie do pierwszego przykładu, \(\) jest wartością własną dla tego BVP, a funkcja własna odpowiadająca tej wartości własnej to,
Ponownie, zauważ, że zrezygnowaliśmy z arbitralnej stałej dla funkcji własnych.
Na koniec zajmijmy się trzecim przypadkiem.
Rozwiązanie ogólne jest tu takie,
Zastosowanie pierwszego warunku brzegowego daje,
Zastosowanie drugiego warunku brzegowego daje, Dlatego musimy mieć \({c_1} = 0\).
Więc, dla tego BVP ponownie nie mamy ujemnych wartości własnych.
Podsumowując, będziemy mieli następujące wartości własne/funkcje własne dla tego BVP.
Zauważ również, że możemy je połączyć, jeśli pozwolimy, aby lista \(n\) dla pierwszego z nich zaczynała się od zera zamiast od jednego. To często nie będzie miało miejsca, ale kiedy tak się stanie, skorzystamy z tego. Tak więc „oficjalna” lista wartości własnych/funkcji własnych dla tego BVP to,
W poprzednich dwóch przykładach zobaczyliśmy, że generalnie musimy rozważyć różne przypadki dla \(\), ponieważ różne wartości często prowadzą do różnych rozwiązań ogólnych. Nie należy zbytnio przywiązywać się do przypadków, które tutaj rozpatrywaliśmy. Przeważnie będziemy rozwiązywać to konkretne równanie różniczkowe, więc kuszące jest założenie, że to są zawsze te przypadki, na które będziemy patrzeć, ale są BVP, które wymagają innych/odmiennych przypadków.
Jak widzieliśmy w dwóch przykładach, czasami jeden lub więcej przypadków nie daje żadnych wartości własnych. To się często zdarza, ale znowu nie powinniśmy się doszukiwać niczego w fakcie, że nie mieliśmy ujemnych wartości własnych dla żadnego z tych dwóch BVP. Istnieją BVP, które będą miały ujemne wartości własne.
Przyjrzyjmy się innemu przykładowi z zupełnie innym zestawem warunków brzegowych. Nie są to tradycyjne warunki brzegowe, na które patrzyliśmy do tej pory, ale zobaczymy w następnym rozdziale, jak mogą one wynikać z pewnych problemów fizycznych.
W tym przykładzie nie będziemy podawać rozwiązania ani jego pochodnej na granicach. Zamiast tego po prostu określimy, że rozwiązanie musi być takie samo na dwóch granicach, a pochodna rozwiązania musi być również taka sama na dwóch granicach. Ponadto, ten rodzaj warunków brzegowych będzie zazwyczaj na przedziale o postaci zamiast takiej, nad jaką pracowaliśmy do tego momentu.
Jak wspomniano powyżej, tego rodzaju warunki brzegowe pojawiają się bardzo naturalnie w pewnych problemach fizycznych i zobaczymy to w następnym rozdziale.
Jak w poprzednich dwóch przykładach, nadal mamy standardowe trzy przypadki do rozpatrzenia. Możemy mieć \(\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) = 0\), ale jest również całkowicie możliwe, w tym momencie problemu, abyśmy mieli \({c_2} = 0\), jak również.
Przejdźmy więc dalej i zastosujmy drugi warunek brzegowy i zobaczmy, czy coś z tego wyjdzie.
Więc otrzymujemy coś bardzo podobnego do tego, co otrzymaliśmy po zastosowaniu pierwszego warunku brzegowego.
Zauważmy jednak, że jeśli \sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) \ne 0\) to będziemy musieli mieć \({c_1} = {c_2} = 0\) i otrzymamy trywialne rozwiązanie. Musimy zatem wymagać, aby \(\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) = 0\) i tak samo jak w poprzednich dwóch przykładach możemy teraz uzyskać wartości własne,
Przywołując, że \(\lambda > 0\) i widzimy, że musimy zacząć listę możliwych \(n\) od jednego zamiast zera.
Więc znamy teraz wartości własne dla tego przypadku, ale co z funkcjami własnymi. Rozwiązaniem dla danej wartości własnej jest,
i nie mamy powodu by sądzić, że którakolwiek z tych dwóch stałych jest zerowa lub niezerowa w tym przypadku. W takich przypadkach otrzymujemy dwa zestawy funkcji własnych, po jednym odpowiadającym każdej stałej. Dwa zestawy funkcji własnych dla tego przypadku to:
Teraz drugi przypadek.
rozwiązaniem ogólnym jest,
Zastosowanie pierwszego warunku brzegowego daje,
Używając tego rozwiązaniem ogólnym jest,
i zauważ, że będzie to trywialnie spełniać drugi warunek brzegowy, tak jak widzieliśmy w drugim przykładzie powyżej. Dlatego ponownie mamy \(\) jako wartość własną dla tego BVP, a funkcja własna odpowiadająca tej wartości własnej to,
Na koniec zajmijmy się trzecim przypadkiem.
Rozwiązaniem ogólnym jest tutaj,
Zastosowanie pierwszego warunku brzegowego i wykorzystanie faktu, że kosinus hiperboliczny jest parzysty, a sinus hiperboliczny jest nieparzysty daje,
\
Teraz, w tym przypadku zakładamy, że \(\lambda < 0\) i wiemy, że \(\pi \sqrt { – \lambda } \ne 0\), co z kolei mówi nam, że \(\sinh \left( { \pi \sqrt { – \lambda } } } \right) \ne 0\). Musimy zatem mieć \({c_2} = 0\).
Zastosujmy teraz drugi warunek brzegowy, aby otrzymać,
Zgodnie z naszym założeniem o \(\lambda \) ponownie nie mamy tutaj wyboru i musimy mieć \({c_1} = 0\).
W związku z tym, w tym przypadku jedynym rozwiązaniem jest rozwiązanie trywialne, a więc dla tego BVP znów nie mamy ujemnych wartości własnych.
Podsumowując, będziemy mieli następujące wartości własne/funkcje własne dla tego BVP.
Zauważmy, że przyznaliśmy, że dla ∗ (∗ lambda > 0) mieliśmy dwa zestawy funkcji własnych, wymieniając każdy z nich osobno. Możemy również ponownie połączyć dwa ostatnie zestawy w jeden zestaw wartości własnych i funkcji własnych. W ten sposób otrzymamy następujący zestaw wartości własnych i funkcji własnych.
Po raz kolejny mamy przykład, w którym nie ma ujemnych wartości własnych. Nie możemy wystarczająco podkreślić, że jest to bardziej funkcja równania różniczkowego, z którym pracujemy, niż cokolwiek innego i będą przykłady, w których możemy uzyskać ujemne wartości własne.
Teraz, do tego momentu pracowaliśmy tylko z jednym równaniem różniczkowym, więc popracujmy nad przykładem z innym równaniem różniczkowym tylko po to, aby upewnić się, że nie jesteśmy zbytnio przywiązani do tego jednego równania różniczkowego.
Przed rozpoczęciem pracy nad tym przykładem zauważmy, że nadal będziemy pracować nad zdecydowaną większością naszych przykładów z jednym równaniem różniczkowym, którego używaliśmy do tego momentu. Pracujemy z tym innym równaniem różniczkowym tylko po to, aby upewnić się, że nie jesteśmy zbytnio przywiązani do używania jednego równania różniczkowego.
Jest to równanie różniczkowe Eulera, więc wiemy, że będziemy musieli znaleźć korzenie następującej kwadratury.
Korzeniami tej kwadratury są,
Teraz znowu będziemy mieli kilka przypadków do pracy, jednak nie będą one takie same jak w poprzednich przykładach. Rozwiązanie będzie zależało od tego, czy korzenie są rzeczywiste, podwójne czy złożone, a te przypadki będą zależały od znaku/wartości \(1 – lambda \). Prześledźmy więc te przypadki.
(1 – lambda < 0,∑ 1} ∑)
W tym przypadku korzenie będą złożone i aby zapisać rozwiązanie, będziemy musieli zapisać je w następujący sposób.
\
Pisząc korzenie w ten sposób wiemy, że \(\lambda – 1 > 0\), a więc \(\sqrt {\lambda – 1} \) jest teraz liczbą rzeczywistą, której potrzebujemy, aby zapisać następujące rozwiązanie,
\
Zastosowanie pierwszego warunku brzegowego daje nam,
Drugi warunek brzegowy daje nam,
Aby uniknąć trywialnego rozwiązania dla tego przypadku, będziemy wymagać,
Jest to znacznie bardziej skomplikowany warunek niż ten, który widzieliśmy do tej pory, ale poza tym robimy to samo.
Funkcje własne, które odpowiadają tym wartościom własnym to,
Teraz drugi przypadek.
(underline {1 – lambda = 0,} _______________________________)
W tym przypadku otrzymujemy podwójny pierwiastek z _______________________________ ({r_{ 1,2}} = – 1}), a więc rozwiązaniem jest,
Zastosowanie pierwszego warunku brzegowego daje,
Drugi warunek brzegowy daje,
Mamy zatem tylko rozwiązanie trywialne dla tego przypadku, a więc \u2002\u2002\u2002\u2003 \u2003 \u2003 \u2003 \u2004 \u2004 \u2004 \u2004
Zajmijmy się teraz trzecim (i ostatnim) przypadkiem.
(\underline {1 – \lambda > 0,\a> 1} \)
Ten przypadek będzie miał dwa rzeczywiste odrębne korzenie, a rozwiązaniem jest,
\a>
Zastosowanie pierwszego warunku brzegowego daje,
\a>
Używając tego nasze rozwiązanie staje się,
Zastosowanie drugiego warunku brzegowego daje,
Teraz, ponieważ wiemy, że \(\) dla tego przypadku wykładniki na dwóch wyrażeniach w nawiasie nie są takie same, a więc wyrażenie w nawiasie nie jest zerem. Oznacza to, że możemy mieć tylko
, a więc w tym przypadku mamy tylko rozwiązanie trywialne i nie ma żadnych wartości własnych, dla których < 1\).
Wtedy jedyne wartości własne dla tego BVP pochodzą z pierwszego przypadku.
Więc, teraz pracowaliśmy nad przykładem używając równania różniczkowego innego niż „standardowe”, którego używaliśmy do tego momentu. Jak jednak widzieliśmy w pracy, podstawowy proces był całkiem podobny. Ustaliliśmy, że istnieje pewna liczba przypadków (tutaj trzy, ale nie zawsze będą to trzy), które dają różne rozwiązania. Zbadaliśmy każdy przypadek, aby określić, czy nietrywialne rozwiązania są możliwe, a jeśli tak, znaleźliśmy wartości własne i funkcje własne odpowiadające temu przypadkowi.
Musimy przepracować ostatni przykład w tej sekcji, zanim opuścimy tę sekcję, aby przejść do nowych tematów. Cztery przykłady, które przerabialiśmy do tej pory były dość proste (przy czym proste jest względne oczywiście…), jednak nie chcemy odchodzić bez stwierdzenia, że wiele problemów z wartościami własnymi/funkcjami własnymi nie jest tak łatwych.
W wielu przykładach nie jest nawet możliwe uzyskanie pełnej listy wszystkich możliwych wartości własnych dla BVP. Często równania, które musimy rozwiązać, aby uzyskać wartości własne, są trudne, jeśli nie niemożliwe do dokładnego rozwiązania. Przyjrzyjmy się więc jednemu z takich przykładów, aby zobaczyć, co można zrobić, aby przynajmniej zorientować się, jak wyglądają wartości własne w tego typu przypadkach.
Warunki brzegowe dla tego BVP są dość różne od tych, z którymi pracowaliśmy do tej pory. Jednakże, podstawowy proces jest taki sam. Zacznijmy więc od pierwszego przypadku.
Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego jest identyczne jak w kilku pierwszych przykładach, a więc mamy,
Zastosowanie pierwszego warunku brzegowego daje nam,
Drugi warunek brzegowy daje nam,
Więc, jeśli pozwolimy, aby {c_2} = 0 otrzymamy trywialne rozwiązanie i tak, aby spełnić ten warunek brzegowy będziemy musieli wymagać, aby,
Teraz, to równanie ma rozwiązania, ale będziemy musieli użyć pewnych technik numerycznych, aby je uzyskać. Aby zobaczyć, co się tutaj dzieje, wykreślmy wykresy \(\tan \left( \sqrt \lambda } \right)\) i \(- \sqrt \lambda \) na tym samym wykresie. Oto ten wykres i zauważ, że oś pozioma to tak naprawdę wartości \(\sqrt \lambda \), ponieważ dzięki temu łatwiej będzie je dostrzec i odnieść do wartości, które znamy.
Wartości własne dla tego przypadku wystąpią więc tam, gdzie przecinają się dwie krzywe. Pokazaliśmy pierwsze pięć z nich na wykresie, a to, co widać na wykresie, jest tak naprawdę pierwiastkiem kwadratowym rzeczywistej wartości własnej, jak już zauważyliśmy.
Ciekawe jest to, że im dalej od wykresu, tym bardziej wartości własne zbliżają się do asymptot stycznej, więc wykorzystamy to i powiemy, że dla wystarczająco dużych wartości własnych możemy je przybliżyć za pomocą (bardzo dobrze znanych) położeń asymptot stycznej.
Jak duża jest wartość \(n) zanim zaczniemy używać aproksymacji, będzie zależało od tego, jak dużą dokładność chcemy uzyskać, ale ponieważ znamy położenie asymptot i wraz ze wzrostem \(n) dokładność aproksymacji będzie rosła, więc będzie to dość łatwe do sprawdzenia dla danej dokładności.
Dla celów tego przykładu znaleźliśmy pierwsze pięć liczbowo, a następnie użyjemy aproksymacji pozostałych wartości własnych. Oto te wartości / przybliżenia.
Liczba w nawiasie po pierwszych pięciu jest przybliżoną wartością asymptoty. Jak widzimy, są one nieco oddalone, ale do czasu, gdy dojdziemy do n = 5, błąd w przybliżeniu wynosi 0,9862%. Więc mniej niż 1% błąd do czasu gdy dojdziemy do n = 5 i będzie tylko lepiej dla większych wartości n.
Funkcje własne dla tego przypadku są,
gdzie wartości n są podane powyżej.
Teraz, gdy cała ta praca jest z drogi spójrzmy na drugi przypadek.
rozwiązaniem ogólnym jest,
Zastosowanie pierwszego warunku brzegowego daje,
Używając tego rozwiązaniem ogólnym jest wtedy,
\
Zastosowanie drugiego warunku brzegowego daje
\
Więc dla tego przypadku otrzymujemy tylko rozwiązanie trywialne, a więc \(\lambda = 0\) nie jest wartością własną. Zauważmy jednak, że gdyby drugim warunkiem brzegowym było \(y’\left( 1 \right) – y’\left( 1 \right) = 0 \), to \(\lambda = 0 \) byłaby wartością własną (z funkcjami własnymi \(y’\left( x \right) = x \)), a więc znów musimy być ostrożni, by nie wczytywać się zbytnio w naszą pracę.
Na koniec zajmijmy się trzecim przypadkiem.
Rozwiązanie ogólne tutaj jest,
Zastosowanie pierwszego warunku brzegowego daje,
Używając tego rozwiązanie ogólne staje się,
\
Zastosowanie drugiego warunku brzegowego daje,
\
Teraz, z założenia wiemy, że \(\lambda < 0\), a więc \(\sqrt { – \lambda } > 0\). To z kolei mówi nam, że \(\sinh \lewa( { \sqrt { – \lambda } } \prawa) > 0\) i wiemy, że \(\cosh \lewa( x \prawa) > 0\) dla wszystkich \. Zatem musimy mieć \({c_2} = 0\) i ponownie w tym trzecim przypadku otrzymujemy trywialne rozwiązanie, a więc to BVP nie będzie miało ujemnych wartości własnych.
Podsumowując, jedyne wartości własne dla tego BVP pochodzą z założenia, że \u0026apos; są one podane powyżej.
Więc, pracowaliśmy nad kilkoma przykładami wartości własnych/funkcji własnych w tej sekcji. Przed opuszczeniem tej sekcji musimy jeszcze raz zauważyć, że istnieje ogromna ilość różnych problemów, które możemy tutaj rozwiązać i naprawdę pokazaliśmy tylko garstkę przykładów, więc proszę nie wychodzić z tej sekcji wierząc, że pokazaliśmy wszystko.
Całym celem tej sekcji jest przygotowanie nas do typów problemów, które zobaczymy w następnym rozdziale. Ponadto, w następnym rozdziale ponownie ograniczymy się do całkiem podstawowych i prostych problemów, aby zilustrować jedną z bardziej powszechnych metod rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych.
Leave a Reply