Przestrzeń Hilberta

Przestrzeń Hilberta, w matematyce, przykład przestrzeni nieskończenie wymiarowej, która wywarła duży wpływ na analizę i topologię. Niemiecki matematyk David Hilbert po raz pierwszy opisał tę przestrzeń w swoich pracach nad równaniami całkowymi i szeregami Fouriera, które zajmowały jego uwagę w latach 1902-12.

Read More on This Topic

topologia: Historia topologii

…topologicznych własności nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta. Te wysiłki zapowiadały nowy obszar topologii obecnie…

Punkty przestrzeni Hilberta są nieskończonymi ciągami (x1, x2, x3, …) liczb rzeczywistych, które są sumowalne kwadratowo, to znaczy, dla których nieskończony ciąg x12 + x22 + x32 + … zbiega do pewnej skończonej liczby. W bezpośredniej analogii do n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej, przestrzeń Hilberta jest przestrzenią wektorową, która ma naturalny produkt wewnętrzny, lub produkt kropkowy, zapewniający funkcję odległości. Na mocy tej funkcji odległości staje się ona zupełną przestrzenią metryczną, a zatem jest przykładem tego, co matematycy nazywają zupełną przestrzenią iloczynu wewnętrznego.

Wkrótce po badaniach Hilberta austriacko-niemiecki matematyk Ernst Fischer i węgierski matematyk Frigyes Riesz udowodnili, że funkcje całkowalne kwadratowe (funkcje takie, że całkowanie kwadratu ich wartości bezwzględnej jest skończone) mogą być również uważane za „punkty” w zupełnej przestrzeni iloczynu wewnętrznego, która jest równoważna przestrzeni Hilberta. W tym kontekście, przestrzeń Hilberta odegrała rolę w rozwoju mechaniki kwantowej i nadal pozostaje ważnym narzędziem matematycznym w matematyce stosowanej i fizyce matematycznej.

W analizie, odkrycie przestrzeni Hilberta zapoczątkowało analizę funkcjonalną, nową dziedzinę, w której matematycy badają własności dość ogólnych przestrzeni liniowych. Wśród tych przestrzeni są przestrzenie całkowitego iloczynu wewnętrznego, które obecnie nazywane są przestrzeniami Hilberta, oznaczenie użyte po raz pierwszy w 1929 roku przez węgiersko-amerykańskiego matematyka Johna von Neumanna do opisania tych przestrzeni w abstrakcyjny aksjomatyczny sposób. Przestrzeń Hilberta stała się również źródłem bogatych pomysłów w topologii. Jako przestrzeń metryczna, przestrzeń Hilberta może być uważana za nieskończenie wymiarową liniową przestrzeń topologiczną, a ważne pytania związane z jej własnościami topologicznymi zostały postawione w pierwszej połowie XX wieku. Zmotywowani początkowo takimi własnościami przestrzeni Hilberta, badacze utworzyli w latach 60. i 70. nową dziedzinę topologii zwaną topologią nieskończonego wymiaru.

.