Powierzchnia gaussowska

E ⋅ d A = Q enc ε 0 . E ⋅ d A = Q enc ε 0 {{displaystyle ™mathbf {E} \\} \mathbf {A} ={frac {Q_{text{enc}}}{}varepsilon _{0}}.\}

Tym samym Qenc jest ładunkiem elektrycznym zamkniętym przez powierzchnię gaussowską.

Jest to prawo Gaussa, łączące w sobie zarówno twierdzenie o dywergencji, jak i prawo Coulomba.

Powierzchnia sferycznaEdit

Sferyczna powierzchnia gaussowska jest używana podczas znajdowania pola elektrycznego lub strumienia wytwarzanego przez dowolne z poniższych zjawisk:

• ładunek punktowy
• jednolicie rozłożona sferyczna powłoka ładunku
• każdy inny rozkład ładunku o symetrii sferycznej

Sferyczną powierzchnię gaussowską wybiera się tak, aby była współśrodkowa z rozkładem ładunku.

Jako przykład, rozważmy naładowaną powłokę sferyczną S o pomijalnej grubości, z równomiernie rozłożonym ładunkiem Q i promieniem R. Możemy użyć prawa Gaussa, aby znaleźć wielkość wypadkowego pola elektrycznego E w odległości r od środka naładowanej powłoki. Natychmiast widać, że dla sferycznej powierzchni gaussowskiej o promieniu r < R ładunek w niej zawarty jest równy zeru: stąd strumień netto jest równy zeru i wielkość pola elektrycznego na powierzchni gaussowskiej jest również równa 0 (przez dopuszczenie QA = 0 w prawie Gaussa, gdzie QA jest ładunkiem zamkniętym przez powierzchnię gaussowską).

W tym samym przykładzie, używając większej powierzchni gaussowskiej poza powłoką, gdzie r > R, prawo Gaussa wytworzy niezerowe pole elektryczne. Wyznacza się je w następujący sposób.

Strumień wychodzący z powierzchni kulistej S wynosi:

Φ E = { {phi _{E}=.}

∂ S {{displaystyle \partial S\,\!}

E ⋅ d A = ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ S d A { \displaystyle \mathbf {E} +int \u0026aposition \u0026aposition \u0026aposition \u0026aposition = \int \\\int _{c}EdA \cos 0^{ \circ }=Eint \\\\\\\(\) \(\)\)

Powierzchnia kuli o promieniu r wynosi

∫ ∫ S d A = 4 π r 2 {{S}dA=4}pi r^{2}}

co implikuje

Φ E = E 4 π r 2 {displaystyle \Phi _{E}=E4 \pi r^{2}}

Z prawa Gaussa wynika, że strumień jest również

Φ E = Q A ε 0 {displaystyle Φ E = Q A ε 0 {{displaystyle Φ E = Q A ε 0}}

końcowo równając wyrażenie na ΦE otrzymujemy wielkość pola E w położeniu r:

E 4 π r 2 = Q A ε 0 ⇒ E = Q A 4 π ε 0 r 2 . {{displaystyle E4}}{4}pi r^{2}= {{}frac {Q_{A}}{}varepsilon _{0}}}}}quad Rightarrow {{}quad E={{}frac {Q_{A}}{4}pi ^{2}}}r^{2}}}}.}

Ten nietrywialny wynik pokazuje, że każdy sferyczny rozkład ładunku zachowuje się jak ładunek punktowy, gdy jest obserwowany z zewnątrz rozkładu ładunku; jest to w rzeczywistości weryfikacja prawa Coulomba. I, jak wspomniano, wszelkie ładunki zewnętrzne nie liczą się.

Powierzchnia cylindrycznaEdit

Cylindryczna powierzchnia gaussowska jest używana podczas znajdowania pola elektrycznego lub strumienia wytwarzanego przez dowolne z poniższych zjawisk:

• nieskończenie długą linię o jednorodnym ładunku
• nieskończoną płaszczyznę o jednorodnym ładunku
• nieskończenie długi walec o jednorodnym ładunku

Przykład „pola w pobliżu nieskończonego ładunku liniowego” podano poniżej;

Rozważmy punkt P w odległości r od nieskończonego ładunku liniowego mającego gęstość ładunku (ładunek na jednostkę długości) λ. Wyobraźmy sobie zamkniętą powierzchnię w postaci walca, którego osią obrotu jest ładunek liniowy. Jeśli h jest długością walca, to ładunek zamknięty w walcu wynosi

q = λ h {{displaystyle q=lambda h}

,

gdzie q jest ładunkiem zamkniętym w powierzchni gaussowskiej. Istnieją trzy powierzchnie a, b i c jak na rysunku. Pole wektora różniczkującego wynosi dA, na każdej z powierzchni a, b i c.

Powierzchnia zamknięta w postaci walca posiadająca ładunek liniowy w środku i pokazująca pola różniczkujące dA wszystkich trzech powierzchni.

Przechodzący strumień składa się z trzech wkładów:

Φ E = { {phi _{E}=}.

A {displaystyle Φ E = }

E ⋅ d A = ∫ ∫ a E ⋅ d A + ∫ ∫ b E ⋅ d A + ∫ ∫ c E ⋅ d A {\displaystyle \mathbf {E} =int ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ c E ⋅ d A +int \} \cdot d\mathbf {A} }

co implikuje

Φ E = E 2 π r h {displaystyle \Phi _{E}=E2\pi rh}

Z prawa Gaussa

Φ E = q ε 0 {displaystyle \Phi _{E}={frac {q}{\varepsilon _{0}}}}

wyrównanie dla ΦE daje

E 2 π r h = λ h ε 0 ⇒ E = λ 2 π ε 0 r {{displaystyle E2\pi rh={}Rightarrow \quad E={{{rac {{lambda h}{2\pi \varepsilon _{0}r}}}

Gaussian pillboxEdit

Powierzchnia ta jest najczęściej używana do wyznaczania pola elektrycznego wywołanego przez nieskończony arkusz ładunku o jednakowej gęstości lub płytę ładunku o pewnej skończonej grubości. Pudełko ma kształt walca i może być postrzegane jako składające się z trzech elementów: dysku na jednym końcu walca o powierzchni πR², dysku na drugim końcu o takiej samej powierzchni oraz boku walca. Suma strumienia elektrycznego przechodzącego przez każdą składową powierzchni jest proporcjonalna do ładunku zamkniętego w pudełku, co wynika z prawa Gaussa. Ponieważ pole w pobliżu blaszki można w przybliżeniu określić jako stałe, pillbox jest tak zorientowany, że linie pola przenikają przez krążki na końcach pola pod kątem prostopadłym, a bok walca jest równoległy do linii pola.

.