Homomorfizm

Kilka rodzajów homomorfizmów ma specyficzną nazwę, która jest również zdefiniowana dla ogólnych morfizmów.

IzomorfizmEdit

Izomorfizm między strukturami algebraicznymi tego samego typu jest powszechnie definiowany jako homomorfizm bijektorialny.134 :28

W bardziej ogólnym kontekście teorii kategorii, izomorfizm jest definiowany jako morfizm, który ma odwrotność, która również jest morfizmem. W konkretnym przypadku struktur algebraicznych te dwie definicje są równoważne, choć mogą się różnić dla struktur niealgebraicznych, które mają zbiór bazowy.

Precyzyjniej, jeśli

f : A → B {{style f:A → B}

jest (homo)morfizmem, to ma on odwrotność, jeśli istnieje homomorfizm

g : B → A {displaystyle g:B do A}

taki, że

f ∘ g = Id B i g ∘ f = Id A . {{displaystyle f ∘ g = Id A } _{B}} g=operatorname {{A}.} _{A}.}

If A {{displaystyle A}

i B {displaystyle B}

mają zbiory bazowe, a f : A → B {{displaystyle f:A → B}

ma swoją odwrotność g {{displaystyle g}

, wtedy f {displaystyle f}

jest bijektywna. W rzeczywistości, f {displaystyle f}

jest iniekcyjna, gdyż f ( x ) = f ( y ) {displaystyle f(x)=f(y)}

implikuje x = g ( f ( x ) = g ( f ( y ) ) = y {displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}

, a f {{displaystyle f}

jest surjektywna, gdyż dla dowolnego x {displaystyle x}

w B {displaystyle B}

, mamy x = f ( g ( x ) ) { {{displaystyle x=f(g(x))}

, a x {{displaystyle x}

jest obrazem elementu A {{displaystyle A}

.

Odwrotnie, jeśli f : A → B {{displaystyle f:A → B}

jest homomorfizmem bijektywnym między strukturami algebraicznymi, to niech g : B → A {{displaystyle g:B do A}

niech będzie mapą taką, że g ( y ) {displaystyle g(y)}

jest unikalnym elementem x {displaystyle x}

z A {displaystyle A}

taki, że f ( x ) = y {{displaystyle f(x)=y}

. Mamy f ∘ g = Id B i g ∘ f = Id A , {displaystyle f ∘rc g=operatorname {Id} _{B}{}text{ i }}g}circ f=operatorname {{Id} _{A},}

i pozostaje tylko pokazać, że g jest homomorfizmem. Jeśli ∗ {displaystyle *}

jest operacją binarną struktury, to dla każdej pary x {displaystyle x}

, y {displaystyle y}

elementów B {{displaystyle B}

, mamy g ( x ∗ B y ) = g ( f ( g ( x ) ∗ B f ( g ( y ) ) ) = g ( f ( g ( x ) ∗ A g ( y ) ) = g ( x ) ∗ A g ( y ) , {displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y),}

i g {{displaystyle g}

jest więc zgodne z ∗ . {{displaystyle *.}

Ponieważ dowód jest podobny dla każdej arytmii, to pokazuje, że g {{displaystyle g}

jest homomorfizmem.

Dowód ten nie działa dla struktur niealgebraicznych. Na przykład, dla przestrzeni topologicznych, morfizm jest ciągłą mapą, a odwrotność bijective ciągłej mapy niekoniecznie jest ciągła. Izomorfizm przestrzeni topologicznych, zwany homeomorfizmem lub mapą dwuciągłą, jest więc bijektywną mapą ciągłą, której odwrotność jest również ciągła.

EndomorfizmEdit

An endomorfizm jest homomorfizmem, którego dziedzina równa się kodomenie, lub, bardziej ogólnie, morfizmem, którego źródło jest równe celowi.W przypadku przestrzeni wektorowej lub modułu, endomorfizmy tworzą pierścień. W przypadku przestrzeni wektorowej lub modułu swobodnego o skończonym wymiarze, wybór podstawy indukuje izomorfizm pierścienia między pierścieniem endomorfizmów a pierścieniem macierzy kwadratowych o tym samym wymiarze.

AutomorfizmEdit

An automorfizm jest endomorfizmem, który jest również izomorfizmem.Automorfizmy struktury algebraicznej lub obiektu kategorii tworzą grupę pod kompozycją, którą nazywamy grupą automorfizmu tej struktury.

Wiele grup, które otrzymały nazwę są grupami automorfizmu jakiejś struktury algebraicznej. Na przykład, ogólna grupa liniowa GL n ( k ) {{displaystyle \u0026aposition {GL} _{n}(k)}

jest grupą automorfizmu przestrzeni wektorowej o wymiarze n {{displaystyle n}

nad polem k {{displaystyle k}

.

Grupy automorfizmów pól zostały wprowadzone przez Évariste Galois do badania pierwiastków wielomianów i są podstawą teorii Galois.

MonomorfizmEdit

Dla struktur algebraicznych, monomorfizmy są powszechnie definiowane jako homomorfizmy iniekcyjne.:134 :29

W bardziej ogólnym kontekście teorii kategorii, monomorfizm jest definiowany jako morfizm, który jest lewoskrętny. Oznacza to, że (homo)morfizm f : A → B {{displaystyle f:A → B}}

jest monomorfizmem, jeśli dla dowolnej pary g {{displaystyle g}

, h {{displaystyle h}

morfizmów z dowolnego innego obiektu C {{displaystyle C}}

do A {displaystyle A}

, wtedy f ∘ g = f ∘ h {displaystyle f ∘ g=f ∘ h}

implikuje g = h {displaystyle g=h}

.

Te dwie definicje monomorfizmu są równoważne dla wszystkich popularnych struktur algebraicznych. Dokładniej, są one równoważne dla pól, dla których każdy homomorfizm jest monomorfizmem, oraz dla odmian algebry uniwersalnej, czyli struktur algebraicznych, dla których operacje i aksjomaty (tożsamości) są zdefiniowane bez żadnych ograniczeń (pola nie są odmianą, gdyż odwrotność mnożenia jest zdefiniowana albo jako operacja jednoargumentowa, albo jako własność mnożenia, które w obu przypadkach są zdefiniowane tylko dla elementów niezerowych).

W szczególności, te dwie definicje monomorfizmu są równoważne dla zbiorów, magm, półgrup, monoidów, grup, pierścieni, pól, przestrzeni wektorowych i modułów.

Monomorfizm dzielony jest homomorfizmem, który ma lewą odwrotność, a więc sam jest prawą odwrotnością tego innego homomorfizmu. Oznacza to, że homomorfizm f : A → B {{displaystyle f }

jest monomorfizmem rozszczepionym, jeśli istnieje homomorfizm g : B → A {{displaystyle gcolon B do A}

taki, że g ∘ f = Id A . {displaystyle g ∘rc f=operatorname {Id} _{A}.}

Monomorfizm dzielony jest zawsze monomorfizmem, dla obu znaczeń monomorfizmu. Dla zbiorów i przestrzeni wektorowych każdy monomorfizm jest monomorfizmem rozszczepionym, ale ta własność nie zachodzi dla większości typowych struktur algebraicznych.

Dowód równoważności dwóch definicji monomorfizmów

Homomorfizm iniekcyjny jest lewostronnie anulowalny: Jeśli f ∘ g = f ∘ h , {displaystyle f ∘ g=f ∘ h,}

to mamy f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) ) { {displaystyle f(g(x))=f(h(x))}

dla każdego x {displaystyle x}

w C {displaystyle C}

, wspólnego źródła g {{displaystyle g}

i h {displaystyle h}

. Jeśli f {displaystyle f}

jest iniekcyjne, to g ( x ) = h ( x ) {{displaystyle g(x)=h(x)}

, a zatem g = h {displaystyle g=h}

. Dowód ten działa nie tylko dla struktur algebraicznych, ale także dla dowolnej kategorii, której obiektami są zbiory, a strzałkami – mapy między tymi zbiorami. Na przykład, iniekcyjna mapa ciągła jest monomorfizmem w kategorii przestrzeni topologicznych.

Do udowodnienia, że odwrotnie, homomorfizm lewostronnie anulowalny jest iniekcyjny, przydatne jest rozważenie obiektu swobodnego na x {

. Biorąc pod uwagę pewną różnorodność struktur algebraicznych, obiekt wolny na x {{displaystyle x}

jest parą składającą się ze struktury algebraicznej L {{displaystyle L}

tej odmiany oraz elementu x {displaystyle x}

z L {displaystyle L}

spełniający następującą własność uniwersalną: dla każdej struktury S {{displaystyle S}

odmiany i każdego elementu s {displaystyle s}

z S {displaystyle S}

, istnieje unikalny homomorfizm f : L → S {{displaystyle f:L do S}

taki, że f ( x ) = s {{displaystyle f(x)=s}

. Na przykład, dla zbiorów, obiekt wolny na x {{displaystyle x}

to po prostu { x } {{displaystyle {{x}}

; dla semigrup, obiektem swobodnym na x {displaystyle x}

jest { x , x 2 , … , x n , … } , { {displaystyle {x,x^{2},^{n},^{n},^{n},^ldots },}

która, jako, semigrupa, jest izomorficzna do addytywnej semigrupy liczb całkowitych dodatnich; dla monoidów, obiektem wolnym na x {

jest { 1 , x , x 2 , … , x n , … } , { {displaystyle {1,x,x^{2},^{n},^{n},^ldots },}

który, jako monoid, jest izomorficzny z addytywnym monoidem liczb całkowitych nieujemnych; dla grup, obiektem wolnym na x {{displaystyle x}

jest nieskończona grupa cykliczna { … , x – n , … , x – 1 , 1 , x , x 2 , … , x n , … } , {{displaystyle \{ldots ,x^{-n},\{-1},1,x,x^{2},\{ldots ,x^{n},\{n},}

{displaystyle \{displaystyle \{ldots ,x^{-n},\co jako grupa jest izomorficzne z addytywną grupą liczb całkowitych; dla pierścieni, obiektem wolnym na x {{displaystyle x}

} jest pierścień wielomianowy Z ; {{displaystyle \mathbb {Z} ;}

dla przestrzeni wektorowych lub modułów, obiektem wolnym na x {{displaystyle x}

jest przestrzeń wektorowa lub moduł wolny, który ma x {{displaystyle x}

jako podstawę.

Jeśli istnieje obiekt wolny nad x {{displaystyle x}

, to każdy homomorfizm lewostronnie odwoływalny jest iniekcyjny: niech f : A → B {{displaystyle f}

jest homomorfizmem lewostronnie anulowalnym, a a {displaystyle a}

i b {displaystyle b}

są dwoma elementami A {displaystyle A}

takie f ( a ) = f ( b ) {displaystyle f(a)=f(b)}

. Z definicji obiektu wolnego F {{displaystyle F}

, istnieją homomorfizmy g {{displaystyle g}

i h {displaystyle h}

od F {{displaystyle F}

do A {displaystyle A}

takie, że g ( x ) = a {displaystyle g(x)=a}

oraz h ( x ) = b {displaystyle h(x)=b}

. Ponieważ f ( g ( x )) = f ( h ( x )) {{displaystyle f(g(x))=f(h(x))}

, mamy f ∘ g = f ∘ h , {{displaystyle f ∘ g=f ∘ h,}

przez wyjątkowość w definicji własności uniwersalnej. Ponieważ f {{displaystyle f}

jest lewostronnie anulowalne, mamy g = h {displaystyle g=h}

, a zatem a = b {displaystyle a=b}

. Wobec tego, f {{displaystyle f}

jest injekcyjne.

Występowanie obiektu wolnego na x {{displaystyle x}

dla pewnej rozmaitości (patrz też Obiekt wolny § Istnienie): Dla zbudowania obiektu wolnego nad x {displaystyle x}

, rozważ zbiór W {displaystyle W}

dobrze uformowanych formuł zbudowanych z x {displaystyle x}

i operacji struktury. Dwie takie formuły są równoważne, jeśli można przejść od jednej do drugiej stosując aksjomaty (tożsamości struktury). Definiuje to relację równoważności, jeśli tożsamości nie podlegają warunkom, czyli jeśli pracujemy z rozmaitością. Wówczas operacje rozmaitości są dobrze zdefiniowane na zbiorze klas równoważności W {przyp. tłum.}

dla tej relacji. Łatwo pokazać, że wynikowy obiekt jest obiektem swobodnym na W {{displaystyle W}

.

EpimorfizmEdit

W algebrze, epimorfizmy są często definiowane jako homomorfizmy surjektywne.:134:43 Z drugiej strony, w teorii kategorii, epimorfizmy są definiowane jako morfizmy prawostronnie anulowalne. Oznacza to, że (homo)morfizm f : A → B {{displaystyle f:A → B}}

jest epimorfizmem, jeśli dla dowolnej pary g {{displaystyle g}

, h {{displaystyle h}

morfizmów z B {{displaystyle B}

do dowolnego innego obiektu C {displaystyle C}

, równość g ∘ f = h ∘ f {displaystyle g ∘ f=h ∘ f}

implikuje g = h {displaystyle g=h}

.

Struktury algebraiczne, dla których istnieją epimorfizmy niesurpulsywne, to m.in. półgrupy i pierścienie. Najbardziej podstawowym przykładem jest inkluzja liczb całkowitych w liczby racjonalne, która jest homomorfizmem pierścieni i semigrup multiplikatywnych. Dla obu struktur jest on monomorfizmem i epimorfizmem niesurjektywnym, ale nie izomorfizmem.

Szerokim uogólnieniem tego przykładu jest lokalizacja pierścienia przez zbiór multiplikatywny. Każda lokalizacja jest epimorfizmem pierścienia, który nie jest, w ogólności, surjektywny. Ponieważ lokalizacje są fundamentalne w algebrze komutatywnej i geometrii algebraicznej, może to wyjaśniać, dlaczego w tych dziedzinach definicja epimorfizmów jako homomorfizmów prawoskrętnych jest na ogół preferowana.

Podzielony epimorfizm jest homomorfizmem, który ma prawą odwrotność, a więc sam jest lewą odwrotnością tego innego homomorfizmu. Oznacza to, że homomorfizm f : A → B {{displaystyle f }

jest epimorfizmem rozszczepionym, jeśli istnieje homomorfizm g : B → A {{displaystyle gcolon B do A}

taki, że f ∘ g = Id B . {{displaystyle f ∘ g = Id B}.} _{B}.}

Podzielony epimorfizm jest zawsze epimorfizmem, dla obu znaczeń epimorfizmu. Dla zbiorów i przestrzeni wektorowych każdy epimorfizm jest epimorfizmem rozszczepionym, ale ta własność nie zachodzi dla większości typowych struktur algebraicznych.

Podsumowując, mamy

epimorfizm rozszczepiony ⟹ epimorfizm (surjective) ⟹ epimorfizm (right cancelable) ; {displaystyle {{tekst{epimorfizm rozszczepiony}} } }; {{tekst{epimorfizm (surjective)}}; {{tekst{epimorfizm (right cancelable)}}; }

ostatnia implikacja jest równoważnością dla zbiorów, przestrzeni wektorowych, modułów i grup abelianów; pierwsza implikacja jest równoważnością dla zbiorów i przestrzeni wektorowych.

Równoważność dwóch definicji epimorfizmu

Let f : A → B {przyp. tłum.}

jest homomorfizmem. Chcemy udowodnić, że jeśli nie jest on surjektywny, to nie jest prawostronnie odwoływalny.

W przypadku zbiorów, niech b {{displaystyle b}

będzie elementem B {{displaystyle B}

, który nie należy do f ( A ) {{displaystyle f(A)}

, oraz definiujemy g , h : B → B { {displaystyle g,h }

takie, że g {{displaystyle g}

jest funkcją tożsamości, oraz że h ( x ) = x {{displaystyle h(x)=x}

dla każdego x ∈ B , {{displaystyle x w B,}

z tym, że h ( b ) {{displaystyle h(b)}

jest dowolnym innym elementem B {displaystyle B}

. Jest oczywiste, że f {{displaystyle f}

nie jest prawostronnie odwoływalne, ponieważ g ≠ h {displaystyle g}

oraz g ∘ f = h ∘ f . {{displaystyle g ∘ f= h ∘ f.}

W przypadku przestrzeni wektorowych, grup abelianowych i modułów dowód polega na istnieniu kokseli oraz na tym, że mapy zerowe są homomorfizmami: niech C {{displaystyle C}

niech będzie cokernelem f {{displaystyle f}

, a g : B → C {{displaystyle g}

być mapą kanoniczną, taką, że g ( f ( A ) ) = 0 {displaystyle g(f(A))=0}

. Niech h : B → C {displaystyle h : B → C}

niech będzie mapą zerową. Jeśli f {{displaystyle f}

nie jest surjektywne, to C ≠ 0 {{displaystyle C ≠ 0}

, a zatem g ≠ h {{displaystyle g ≠ h}

(jedna jest mapą zerową, a druga nie). Zatem f {{displaystyle f}

nie jest anulowalna, gdyż g ∘ f = h ∘ f {displaystyle g ∘ f=h ∘ f}

(oba są zerową mapą z A {{displaystyle A}

do C {{displaystyle C}}

).