Homeomorfizm

Przestrzeń topologiczna

Jednym z najbardziej podstawowych pojęć strukturalnych w topologii jest przekształcenie zbioru X w przestrzeń topologiczną przez określenie zbioru podzbiorów T zbioru X. Taki zbiór musi spełniać trzy aksjomaty: (1) sam zbiór X i zbiór pusty są członami T, (2) przecięcie dowolnej skończonej liczby zbiorów w T jest w T, oraz (3) unia dowolnego zbioru zbiorów w T jest w T. Zbiory w T nazywamy zbiorami otwartymi, a T nazywamy topologią na X. Na przykład, linia liczb rzeczywistych staje się przestrzenią topologiczną, gdy jej topologia jest określona jako zbiór wszystkich możliwych unii przedziałów otwartych – takich jak (-5, 2), (1/2, π), (0, pierwiastek kwadratowy z√2), …. (Analogiczny proces daje topologię na przestrzeni metrycznej.) Inne przykłady topologii zbiorów występują wyłącznie w teorii zbiorów. Na przykład zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X nazywa się topologią dyskretną na X, a zbiór składający się tylko ze zbioru pustego i samego X tworzy topologię niedyskretną, czyli trywialną, na X. Dana przestrzeń topologiczna daje początek innym pokrewnym przestrzeniom topologicznym. Na przykład, podzbiór A przestrzeni topologicznej X dziedziczy po X topologię, zwaną topologią względną, gdy zbiory otwarte A są przecięciami A ze zbiorami otwartymi X. Ogromna różnorodność przestrzeni topologicznych dostarcza bogatego źródła przykładów do uzasadniania ogólnych twierdzeń, jak również kontrprzykładów do wykazania fałszywych przypuszczeń. Co więcej, ogólność aksjomatów dla przestrzeni topologicznej pozwala matematykom postrzegać wiele rodzajów struktur matematycznych, takich jak zbiory funkcji w analizie, jako przestrzenie topologiczne i w ten sposób wyjaśniać związane z nimi zjawiska na nowe sposoby.

Przestrzeń topologiczna może być również zdefiniowana przez alternatywny zestaw aksjomatów dotyczących zbiorów zamkniętych, które są dopełnieniami zbiorów otwartych. We wczesnym rozważaniu idei topologicznych, zwłaszcza dla obiektów w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej, zbiory zamknięte pojawiły się naturalnie w badaniu zbieżności nieskończonych ciągów (zob. nieskończone szeregi). Często wygodne lub użyteczne jest przyjęcie dodatkowych aksjomatów dla topologii w celu ustalenia wyników, które obowiązują dla znaczącej klasy przestrzeni topologicznych, ale nie dla wszystkich przestrzeni topologicznych. Jeden z takich aksjomatów wymaga, aby dwa różne punkty należały do rozłącznych zbiorów otwartych. Przestrzeń topologiczna spełniająca ten aksjomat jest nazywana przestrzenią Hausdorffa.