Hipoteza continuum

Hipoteza continuum, twierdzenie teorii zbiorów, że zbiór liczb rzeczywistych (continuum) jest w pewnym sensie tak mały, jak tylko może być. W 1873 niemiecki matematyk Georg Cantor udowodnił, że continuum jest niepoliczalne – to znaczy, że liczby rzeczywiste są większą nieskończonością niż liczby wymierne – co było kluczowym wynikiem w zapoczątkowaniu teorii zbiorów jako przedmiotu matematyki. Ponadto Cantor opracował sposób klasyfikacji wielkości zbiorów nieskończonych według liczby ich elementów, czyli ich kardynalności. (Zob. teoria zbiorów: kardynalność i liczby transfiniczne.) W tych kategoriach hipotezę continuum można sformułować następująco: Kardynalność kontinuum jest najmniejszą niepoliczalną liczbą kardynalną.

Read More on This Topic

set theory: Cardinality and transfinite numbers

…a conjecture known as the continuum hypothesis.

W notacji Cantora hipoteza continuum może być stwierdzona przez proste równanie 2ℵ0 = ℵ1, gdzie ℵ0 jest liczbą kardynalną nieskończonego zbioru przeliczalnego (takiego jak zbiór liczb naturalnych), a liczby kardynalne większych „zbiorów dobrze uporządkowanych” to ℵ1, ℵ2, …, ℵα, …, indeksowane przez liczby porządkowe. Można wykazać, że kardynalność kontinuum jest równa 2ℵ0; hipoteza kontinuum wyklucza więc istnienie zbioru o rozmiarze pośrednim między liczbami naturalnymi a kontinuum.

Silniejszym stwierdzeniem jest uogólniona hipoteza kontinuum (GCH): 2ℵα = ℵα + 1 dla każdej liczby porządkowej α. Polski matematyk Wacław Sierpiński udowodnił, że z GCH można wyprowadzić aksjomat wyboru.

Tak jak w przypadku aksjomatu wyboru, urodzony w Austrii amerykański matematyk Kurt Gödel udowodnił w 1939 roku, że jeśli inne standardowe aksjomaty Zermelo-Fraenkela (ZF; patrz ) są spójne, to nie obalają hipotezy continuum ani nawet GCH. To znaczy, wynik dodania GCH do pozostałych aksjomatów pozostaje spójny. Następnie w 1963 roku amerykański matematyk Paul Cohen uzupełnił ten obraz pokazując, ponownie przy założeniu, że ZF jest spójny, że ZF nie daje dowodu hipotezy continuum.

Ponieważ ZF ani nie dowodzi, ani nie obala hipotezy continuum, pozostaje pytanie, czy zaakceptować hipotezę continuum w oparciu o nieformalną koncepcję tego, czym są zbiory. Ogólna odpowiedź w środowisku matematycznym jest negatywna: hipoteza continuum jest ograniczającym stwierdzeniem w kontekście, w którym nie ma żadnego znanego powodu, by narzucać ograniczenie. W teorii zbiorów, operacja power-set przypisuje każdemu zbiorowi o kardynalności ℵα jego zbiór wszystkich podzbiorów, który ma kardynalność 2ℵα. Wydaje się, że nie ma powodu, by narzucać ograniczenie na różnorodność podzbiorów, jakie może mieć zbiór nieskończony.