Geometria różniczkowa
Geometria różniczkowa, dziedzina matematyki zajmująca się geometrią krzywych, powierzchni i rozmaitości (wyżej wymiarowych analogów powierzchni). Dyscyplina ta zawdzięcza swoją nazwę wykorzystaniu idei i technik z rachunku różniczkowego, choć współczesny przedmiot często wykorzystuje techniki algebraiczne i czysto geometryczne. Chociaż podstawowe definicje, notacje i opisy analityczne różnią się znacznie, przeważają następujące pytania geometryczne: W jaki sposób mierzy się krzywiznę krzywej na powierzchni (wewnętrzna) w porównaniu z krzywizną w otaczającej ją przestrzeni (zewnętrzna)? Jak można zmierzyć krzywiznę powierzchni? Jaka jest najkrótsza droga w obrębie powierzchni pomiędzy dwoma punktami na tej powierzchni? Jak najkrótsza ścieżka na powierzchni jest związana z pojęciem linii prostej?
Choć krzywe były badane od starożytności, odkrycie rachunku całkowego w XVII wieku otworzyło drogę do badania bardziej skomplikowanych krzywych płaskich – takich jak te stworzone przez francuskiego matematyka René Descartes’a (1596-1650) za pomocą jego „kompasu” (patrz Historia geometrii: Geometria kartezjańska). W szczególności rachunek całkowy doprowadził do ogólnego rozwiązania starożytnych problemów ze znajdowaniem długości łuku krzywych płaskich i pola powierzchni figur płaskich. To z kolei otworzyło drogę do badania krzywych i powierzchni w przestrzeni – badania, które było początkiem geometrii różniczkowej.
Niektóre z fundamentalnych idei geometrii różniczkowej mogą być zilustrowane przez strake, spiralny pasek często zaprojektowany przez inżynierów, aby dać wsparcie strukturalne do dużych cylindrów metalowych, takich jak kominy. Taśmę można uformować przez wycięcie z płaskiej blachy stalowej pierścieniowego pasa (obszar pomiędzy dwoma koncentrycznymi okręgami), a następnie wygięcie go w spiralę, która opasuje cylinder, jak pokazano na rysunku. Jaki powinien być promień r pierścienia, aby uzyskać najlepsze dopasowanie? Geometria różniczkowa dostarcza rozwiązania tego problemu poprzez zdefiniowanie precyzyjnej miary krzywizny łuku; następnie r może być regulowane aż do momentu, gdy krzywizna wewnętrznej krawędzi pierścienia dopasuje się do krzywizny spirali.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Pozostaje ważne pytanie: Czy można, bez rozciągania, wygiąć pierścieniową taśmę tak, aby utworzyła pasy wokół walca? W szczególności oznacza to, że odległości mierzone wzdłuż powierzchni (wewnętrzne) pozostają niezmienione. Mówi się, że dwie powierzchnie są izometryczne, jeśli jedną z nich można zgiąć (lub przekształcić) w drugą bez zmiany odległości wewnętrznych. (Na przykład, ponieważ kartka papieru może być zwinięta w rurkę bez rozciągania, kartka i rurka są „lokalnie” izometryczne – tylko lokalnie, ponieważ nowe, i być może krótsze, drogi są tworzone przez połączenie dwóch krawędzi papieru). Zatem drugim pytaniem staje się: Czy pasek pierścieniowy i ramię są izometryczne? Aby odpowiedzieć na to i podobne pytania, geometria różniczkowa opracowała pojęcie krzywizny powierzchni.
.
Leave a Reply