Żyroid

Żyroid jest unikalnym nietrywialnym osadzonym członkiem rodziny asocjacyjnej powierzchni P i D Schwarza. Jego kąt asocjacji w odniesieniu do powierzchni D wynosi około 38.01°. Żyroid jest podobny do lidinoidu. Żyroid został odkryty w 1970 roku przez naukowca NASA Alana Schoena. Obliczył on kąt asocjacji i dał przekonującą demonstrację zdjęć skomplikowanych plastikowych modeli, ale nie dostarczył dowodu na osadzenie. Schoen zauważył, że gyroid nie zawiera ani linii prostych, ani symetrii planarnych. Karcher dał inne, bardziej współczesne traktowanie powierzchni w 1989 roku używając konstrukcji powierzchni sprzężonych. W 1996 Große-Brauckmann i Wohlgemuth udowodnili, że jest ona osadzona, a w 1997 Große-Brauckmann podał CMC warianty gyroida i przeprowadził dalsze badania numeryczne dotyczące ułamków objętości minimalnych i CMC (stała średnia krzywizna) gyroid.

Żyroid dzieli przestrzeń na dwa przeciwnie przystające labirynty przejść. Żyroid ma grupę przestrzenną I4132 (nr 214). Kanały biegną przez labirynty gyroidów w kierunkach (100) i (111); przejścia wyłaniają się pod kątem 70,5 stopnia do dowolnego kanału, gdy jest on przemierzany, a kierunek, w którym to czynią, to gyrating w dół kanału, dając początek nazwie „gyroid”. Jednym ze sposobów wizualizacji tej powierzchni jest wyobrażenie sobie „kwadratowych katenoidów” powierzchni P (utworzonych przez dwa kwadraty w równoległych płaszczyznach, z prawie okrągłą talią); obrót wokół krawędzi kwadratu generuje powierzchnię P. W rodzinie asocjacyjnej, te kwadratowe katenoidy „otwierają się” (podobnie jak katenoida „otwiera się” na helikoid) tworząc żyjące wstęgi, aż w końcu stają się powierzchnią Schwarza D. Dla jednej wartości parametru rodziny stowarzyszonej wstęgi żyrowania leżą dokładnie w miejscach wymaganych do posiadania powierzchni osadzonej.

Żyroid jest jedyną znaną osadzoną potrójnie periodyczną minimalną powierzchnią, która posiada potrójne węzły i nie posiada linii symetrii odbicia, w przeciwieństwie do pięciu minimalnych powierzchni badanych przez Andersona i in. w 1990 roku.

Gyroid odnosi się do członka, który jest w rodzinie stowarzyszonej z powierzchnią Schwarza P, ale w rzeczywistości gyroid istnieje w kilku rodzinach, które zachowują różne symetrie powierzchni; bardziej kompletna dyskusja rodzin tych minimalnych powierzchni pojawia się w triply periodic minimal surfaces.

Co ciekawe, podobnie jak niektóre inne trójokresowe powierzchnie minimalne, powierzchnia gyroida może być trygonometrycznie przybliżona przez krótkie równanie:

sin x cos y + sin y cos z + sin z cos x = 0 {sin x cos y+sin y cos z+sin z cos x=0}

.