Homotopie theorie

Ruimtes en mapsEdit

In de homotopie theorie en de algebraïsche topologie duidt het woord “ruimte” een topologische ruimte aan. Om pathologieën te vermijden, werkt men zelden met willekeurige ruimten; in plaats daarvan eist men dat ruimten voldoen aan extra beperkingen, zoals compact gegenereerd zijn, of Hausdorff, of een CW complex.

Op dezelfde manier als hierboven, is een “map” een continue functie, eventueel met enkele extra beperkingen.

Vaak werkt men met een spitse ruimte — dat is een ruimte met een “distinguished point”, een basispunt genoemd. Een spitse functie is dan een functie die de basispunten bewaart, dat wil zeggen dat zij het basispunt van het domein naar dat van de codomein stuurt. Een vrije kaart daarentegen is een kaart die geen basispunten hoeft te behouden.

HomotopieEdit

Laat I het eenheidsinterval aanduiden. Een familie van door I geïndexeerde kaarten, h t : X → Y {\displaystyle h_{t}:X\to Y}

heet een homotopie van h 0 {h_{0}}

naar h 1 {\displaystyle h_{1}}

als h : I × X → Y , ( t , x ) ↦ h t ( x ) {\displaystyle h:I-tijden Xtot Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)}

is een functie (b.v. moet het een continue functie zijn). Als X, Y spitse ruimten zijn, is de h t {{t}}

nodig zijn om de basispunten te behouden. Men kan aantonen dat een homotopie een equivalentierelatie is. Gegeven een spitse ruimte X en een geheel getal n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1}

, zij π n ( X ) = ∗ {\displaystyle \pi _{n}(X)=_{*}}

de homotopie klassen van gebaseerde kaarten S n → X {\displaystyle S^{n}}

van een (puntige) n-sfeer S n {\displaystyle S^{n}}

naar X. Het blijkt dat π n ( X ) {\displaystyle ^pi _{n}(X)}

groepen zijn; in het bijzonder π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)}

wordt de fundamentaalgroep van X genoemd.

Wanneer men liever met een ruimte werkt in plaats van met een spitse ruimte, is er het begrip fundamentaalgroepoïde (en hogere varianten): de fundamentaalgroepoïde van een ruimte X is per definitie de categorie waarin de objecten de punten van X zijn en de morphismen paden zijn.

Cofibratie en vezelingEdit

Een kaart f : A → X {\display f:A\naar X}

heet een cofibratie als gegeven (1) een kaart h 0 : X → Z {Displaystyle h_{0}:X\naar Z}

en (2) een homotopie g t : A → Z {{displaystyle g_{t}:A:naar Z}

, bestaat er een homotopie h t : X → Z {{displaystyle h_{t}:X:to Z}

die h 0 {h_{0}}

en zodanig dat h t ∘ f = g t {{displaystyle h_{t} f=g_{t}}

. In zekere zin is het een analogon van het definiërende diagram van een injectieve module in abstracte algebra. Het meest eenvoudige voorbeeld is een CW-paar ( X , A ) {Displaystyle (X,A)}

; aangezien velen alleen met CW complexen werken, is de notie van een cofibratie vaak impliciet.

Een vezeling in de zin van Serre is het duale begrip van een cofibratie: dat wil zeggen, een kaart p : X → B}

is een vezeling als gegeven (1) een kaart Z → X {\displaystyle Z\tot X}

en (2) een homotopie g t : Z → B {\displaystyle g_{t}:Z\tot B}

, bestaat er een homotopie h t : Z → X {{homotopie h_{t}:Z\tot X}

zodanig dat h 0 {{homotopie h_{0}}

de gegeven is en p ∘ h t = g t {\displaystyle p_{t}=g_{t}}

. Een basisvoorbeeld is een overdekkingskaart (in feite is een vezeling een veralgemening van een overdekkingskaart). Als E {Displaystyle E}

een hoofd-G-bundel is, dat wil zeggen een ruimte met een vrije en overgankelijke (topologische) groepsactie van een (topologische) groep, dan is de projectiekaart p : E → X {P:E:E:X}

is een voorbeeld van een vezeling.

Classificeerruimten en homotopiebewerkingenEdit

Gegeven een topologische groep G, is de classificeerruimte voor principale G-bundels (“de” tot aan equivalentie) een ruimte B G {\displaystyle BG}

zodat, voor elke ruimte X, = {\displaystyle =}

/ ~ , ↦ f ∗ E G {\displaystyle,\,\mapsto f^{*}EG}

waar

• de linkerkant de verzameling homotopie klassen is van de kaarten X → B G {\displaystyle X\to BG}
  

  ,

• ~ verwijst naar isomorfisme van bundels, en
• = wordt gegeven door de voorname bundel E G {{displaystyle EG}} terug te trekken
  

  op B G {\displaystyle BG}

  

  (universele bundel genoemd) langs een kaart X → B G {\displaystyle Xtot BG}

  

  .

Browns representabiliteitstheorema garandeert het bestaan van classificeerbare ruimten.

Spectrum en veralgemeende cohomologieEdit

Het idee dat een classificerende ruimte hoofdbundels classificeert, kan verder worden doorgedreven. Men zou bijvoorbeeld kunnen proberen cohomologieklassen te classificeren: gegeven een abeliaanse groep A (zoals Z {\displaystyle \mathbb {Z} }

), = H n ( X ; A ) {\displaystyle = Operatornaam {H} ^{n}(X;A)}

waar K ( A , n ) {Displaystyle K(A,n)}

de Eilenberg-MacLane-ruimte is. Bovenstaande vergelijking leidt tot de notie van een gegeneraliseerde cohomologietheorie; d.w.z. een contravariante functor van de categorie der ruimten naar de categorie der abeliaanse groepen die voldoet aan de axioma’s die de gewone cohomologietheorie veralgemenen. Het blijkt dat zo’n functor misschien niet door een ruimte kan worden voorgesteld, maar wel door een rij van (punt)ruimten met structuurkaarten, die men een spectrum noemt. Met andere woorden, een veralgemeende cohomologietheorie geven is een spectrum geven.

Een basisvoorbeeld van een spectrum is een bol-spectrum: S 0 → S 1 → S 2 → ⋯ {{0} S^{1} S^{2} S^{0} S^{1} S^{2} S^{2} ^{2}}