Homomorfisme

Verschillende soorten homomorfismen hebben een specifieke naam, die ook voor algemene morfismen is gedefinieerd.

IsomorfismeEdit

Een isomorfisme tussen algebraïsche structuren van hetzelfde type wordt gewoonlijk gedefinieerd als een bijectief homomorfisme.:134 :28

In de algemenere context van de categorietheorie wordt een isomorfisme gedefinieerd als een morfisme dat een inverse heeft die ook een morfisme is. In het specifieke geval van algebraïsche structuren zijn de twee definities equivalent, hoewel ze kunnen verschillen voor niet-algebraïsche structuren, die een onderliggende verzameling hebben.

Nauwkeuriger, als

f : A → B {{{4695> f:A:B}

een (homo)morphisme is, heeft het een inverse als er een homomorfisme

g : B → A {{homomorfisme g:B:A}} bestaat.

zodat

f ∘ g = Id B en g ∘ f = Id A. {{displaystyle f ∘ g={Id} _{B} g=operatornaam {Id} _{A}.}

Als A {{Displaystyle A}}

en B {{{Displaystyle B}}

onderliggende verzamelingen hebben, en f : A → B {\displaystyle f:A:naar B}

heeft een inverse g {{Displaystyle g}

, dan heeft f {\le f}

bijectief. In feite is f {Displaystyle f}

is injectief, want f ( x ) = f ( y ) {{displaystyle f(x)=f(y)}

impliceert x = g ( f ( x ) ) = g ( f ( y ) ) = y {{displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}

, en f {{displaystyle f}

is surjectief, want voor elke x {{\displaystyle x}

in B {{\displaystyle B}

, heeft men x = f ( g ( x ) ) {{displaystyle x=f(g(x))}

, en x {{displaystyle x}

is de afbeelding van een element van A {{{displaystyle A}

.

Omgekeerd geldt dat als f : A → B {{Displaystyle f:A:naar B}

een bijectief homomorfisme tussen algebraïsche structuren is, laat dan g : B → A {\displaystyle g:B:naar A}

de zodanige kaart zijn dat g ( y ) {{\displaystyle g(y)}

het unieke element x {\displaystyle x}

van A {\displaystyle A}

zo dat f ( x ) = y {{Displaystyle f(x)=y}

. Men heeft f ∘ g = Id B en g ∘ f = Id A , {Displaystyle f ∘ g={Id} _{B}{ en }}g\circ f=\operatornaam {Id} _{A},}

en dan rest ons alleen nog aan te tonen dat g een homomorfisme is. Als ∗ {Displaystyle *}

een binaire operatie van de structuur is, kan voor elk paar x {\displaystyle x}

, y {\displaystyle y}

van elementen van B {\displaystyle B}

, heeft men g ( x ∗ B y ) = g ( f ( g ( x ) ∗ B f ( g ( y ) ) = g ( f ( g ( x ) ∗ A g ( y ) ) = g ( x ) ∗ A g ( y ) , {{Displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y))=g(x)*_{A}g(y),}

en g {{{displaystyle g}}

is dus verenigbaar met ∗ . {Displaystyle *.}

Aangezien het bewijs voor elke ariteit gelijk is, toont dit aan dat g {\displaystyle g}

een homomorfisme is.

Dit bewijs werkt niet voor niet-algebraïsche structuren. Voor topologische ruimten bijvoorbeeld is een morfisme een continue kaart, en de inverse van een bijectieve continue kaart is niet noodzakelijk continu. Een isomorfisme van topologische ruimten, homeomorfisme of bicontinueuze kaart genoemd, is dus een bijectieve continue kaart, waarvan het inverse ook continu is.

EndomorfismeEdit

Een endomorfisme is een homomorfisme waarvan het domein gelijk is aan het codomein, of, algemener, een morphisme waarvan de bron gelijk is aan het doel.:135

De endomorfismen van een algebraïsche structuur, of van een object van een categorie vormen een monoïde onder compositie.

De endomorfismen van een vectorruimte of van een module vormen een ring. In het geval van een vectorruimte of een vrije module van eindige dimensie induceert de keuze van een basis een ringisomorfisme tussen de ring van endomorfismen en de ring van vierkante matrices van dezelfde dimensie.

AutomorfismeEdit

Een automorfisme is een endomorfisme dat ook een isomorfisme is.:135

De automorfismen van een algebraïsche structuur of van een object van een categorie vormen een groep onder samenstelling, die de automorfismegroep van de structuur wordt genoemd.

Vele groepen die een naam hebben gekregen, zijn automorfismegroepen van een of andere algebraïsche structuur. Bijvoorbeeld, de algemene lineaire groep GL n ( k ) {\anaam {GL} _{n}(k)}

is de automorfismegroep van een vectorruimte van dimensie n {\displaystyle n}

over een veld k {\displaystyle k}

.

De automorfismegroepen van velden zijn door Évariste Galois geïntroduceerd voor het bestuderen van de wortels van veeltermen, en vormen de basis van de Galois-theorie.

MonomorfismeEdit

Voor algebraïsche structuren worden monomorfismen gewoonlijk gedefinieerd als injectieve homomorfismen.:134 :29

In de algemenere context van de categorietheorie wordt een monomorfisme gedefinieerd als een morfisme dat links annuleerbaar is. Dat wil zeggen dat een (homo)morphisme f : A → B {{{A} naar B}

een monomorfisme is als, voor elk paar g {{\displaystyle g}

, h {{{\displaystyle h}

van morfismen van een ander object C {{\displaystyle C}

naar A {{\displaystyle A}

, dan f ∘ g = f ∘ h {\displaystyle f ∘ g=f ∘ h}

impliceert g = h {{{Displaystyle g=h}

.

Deze twee definities van monomorfisme zijn equivalent voor alle gangbare algebraïsche structuren. Meer precies zijn ze equivalent voor velden, waarvoor elk homomorfisme een monomorfisme is, en voor variëteiten van universele algebra, dat wil zeggen algebraïsche structuren waarvoor operaties en axioma’s (identiteiten) onbeperkt gedefinieerd zijn (velden zijn geen variëteit, want de vermenigvuldigingsinverse is gedefinieerd als een unaire operatie of als een eigenschap van de vermenigvuldiging, die in beide gevallen alleen gedefinieerd zijn voor elementen die niet nul zijn).

In het bijzonder zijn de twee definities van een monomorfisme equivalent voor verzamelingen, magma’s, semigroepen, monoïden, groepen, ringen, velden, vectorruimten en modulen.

Een gesplitst monomorfisme is een homomorfisme dat een linkerinverse heeft en dus zelf een rechterinverse is van dat andere homomorfisme. Dat wil zeggen dat een homomorfisme f : A → B {{{{}}

is een gesplitst monomorfisme als er een homomorfisme g : B → A {{\displaystyle g\colon B naar A}

zodanig dat g ∘ f = Id A. {{displaystyle g\circ f=operatornaam {Id} _{A}.}

Een gesplitst monomorfisme is altijd een monomorfisme, voor beide betekenissen van monomorfisme. Voor verzamelingen en vectorruimten is elk monomorfisme een gesplitst monomorfisme, maar deze eigenschap geldt niet voor de meeste gangbare algebraïsche structuren.

. Gegeven een variëteit van algebraïsche structuren is een vrij object op x {{displaystyle x}

een paar bestaande uit een algebraïsche structuur L {{displaystyle L}

van deze variëteit en een element x {\displaystyle x}

van L {\displaystyle L}

die aan de volgende universele eigenschap voldoen: voor elke structuur S {\displaystyle S}

van de variëteit, en elk element s {{\displaystyle s}

van S {{\displaystyle S}

, is er een uniek homomorfisme f : L → S {Displaystyle f:L:naar S}

zo dat f ( x ) = s {stijl f(x)=s}

. Bijvoorbeeld, voor verzamelingen is het vrije object op x {\displaystyle x}

eenvoudigweg {x } {displaystyle \{x}}

; voor semigroepen is het vrije object op x {\displaystyle x}

{x , x 2 , … , x n , … } , {{x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}

die, als een semigroep, isomorf is aan de additieve semigroep van de positieve gehele getallen; voor monoïden is het vrije object op x {\displaystyle x}

{ 1 , x , x 2 , … , x n , … } , {{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}

die, als, een monoïde, isomorf aan de additieve monoïde van de niet-negatieve gehele getallen; voor groepen is het vrije object op x {{2477>de oneindige cyclische groep { … , x – n , … , x – 1 , 1 , x , x 2 , … , x n , … } ,

EpimorfismeEdit

In de algebra worden epimorfismen vaak gedefinieerd als surjectieve homomorfismen.:134:43 In de categorietheorie daarentegen worden epimorfismen gedefinieerd als rechts ophefbare morfismen. Dit houdt in dat een (homo)morphisme f : A → B {{{A} naar B}

een epimorfisme is als, voor elk paar g {{\displaystyle g}

, h {\displaystyle h}

van morfismen van B {{Displaystyle B}

naar elk ander object C {{\displaystyle C}

, de gelijkheid g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g ∘ f=h ∘ f}

impliceert g = h {{{Displaystyle g=h}}

.

Een surjectief homomorfisme is altijd rechts annuleerbaar, maar het omgekeerde geldt niet altijd voor algebraïsche structuren. De twee definities van epimorfisme zijn echter equivalent voor verzamelingen, vectorruimten, abeliaanse groepen, modules (zie hieronder voor een bewijs), en groepen. Het belang van deze structuren in de gehele wiskunde, en in het bijzonder in de lineaire algebra en de homologische algebra, kan het naast elkaar bestaan van twee niet-equivalente definities verklaren.

Algebraïsche structuren waarvoor niet-surjectieve epimorfismen bestaan, omvatten semigroepen en ringen. Het meest elementaire voorbeeld is de inclusie van gehele getallen in rationale getallen, die een homomorfisme is van ringen en van multiplicatieve semigroepen. Voor beide structuren is het een monomorfisme en een niet-surjectief epimorfisme, maar geen isomorfisme.

Een ruime veralgemening van dit voorbeeld is de lokalisatie van een ring door een multiplicatieve verzameling. Elke lokalisatie is een ringepimorfisme, dat in het algemeen niet surjectief is. Aangezien lokalisaties fundamenteel zijn in de commutatieve algebra en de algebraïsche meetkunde, kan dit verklaren waarom in deze gebieden de definitie van epimorfismen als rechts ophefbare homomorfismen over het algemeen de voorkeur geniet.

Een gesplitst epimorfisme is een homomorfisme dat een rechts inverse heeft en dus zelf een links inverse is van dat andere homomorfisme. Dat wil zeggen dat een homomorfisme f : A → B {{{{}}

een gesplitst epimorfisme als er een homomorfisme g : B → A {{\displaystyle g:collecton B:naar A}

zodanig dat f ∘ g = Id B . {Stijl f ∘ g = Id B . _{B}.}

Een gesplitst epimorfisme is altijd een epimorfisme, voor beide betekenissen van epimorfisme. Voor verzamelingen en vectorruimten is elk epimorfisme een gesplitst epimorfisme, maar deze eigenschap geldt niet voor de meeste gangbare algebraïsche structuren.

Samenvattend heeft men

gesplitst epimorfisme ⟹ epimorfisme (surjectief) ⟹ epimorfisme (rechts ophefbaar) ; {\displaystyle {{split epimorfisme}}{{epimorfisme (surjectief)}}{{epimorfisme (rechts ophefbaar)}}; {\displaystyle {{split epimorfisme}}