Homeomorfisme

Topologische ruimte

Een van de meest structurele basisbegrippen in de topologie is het omvormen van een verzameling X tot een topologische ruimte door een verzameling van deelverzamelingen T van X op te geven. Zo’n verzameling moet aan drie axioma’s voldoen: (1) de verzameling X zelf en de lege verzameling zijn leden van T, (2) de intersectie van elk eindig aantal verzamelingen in T is in T, en (3) de unie van elke verzameling verzamelingen in T is in T. De verzamelingen in T worden open verzamelingen genoemd en T wordt een topologie op X genoemd. Zo wordt de reële getallenlijn een topologische ruimte als de topologie ervan wordt gespecificeerd als de verzameling van alle mogelijke unies van open intervallen – zoals (-5, 2), (1/2, π), (0, vierkantswortel van√2), …. (Een analoog proces levert een topologie op van een metrische ruimte.) Andere voorbeelden van topologieën op verzamelingen komen zuiver in termen van de verzamelingenleer voor. Zo heet de verzameling van alle deelverzamelingen van een verzameling X de discrete topologie op X, en de verzameling die alleen bestaat uit de lege verzameling en X zelf vormt de indiscrete, of triviale, topologie op X. Een gegeven topologische ruimte geeft aanleiding tot andere verwante topologische ruimten. Bijvoorbeeld, een deelverzameling A van een topologische ruimte X erft een topologie, de relatieve topologie genoemd, van X wanneer de open verzamelingen van A worden beschouwd als de snijpunten van A met open verzamelingen van X. De enorme verscheidenheid aan topologische ruimten levert een rijke bron van voorbeelden om algemene stellingen te motiveren, alsook tegenvoorbeelden om foute vermoedens aan te tonen. Bovendien stelt de algemeenheid van de axioma’s voor een topologische ruimte wiskundigen in staat om vele soorten wiskundige structuren, zoals verzamelingen van functies in de analyse, als topologische ruimten te beschouwen en daarmee geassocieerde verschijnselen op nieuwe manieren te verklaren.

Een topologische ruimte kan ook gedefinieerd worden door een alternatieve verzameling axioma’s met gesloten verzamelingen, die complementen zijn van open verzamelingen. In de vroege beschouwing van topologische ideeën, vooral voor objecten in de n-dimensionale euclidische ruimte, waren gesloten verzamelingen op natuurlijke wijze ontstaan bij het onderzoek naar de convergentie van oneindige reeksen (zie oneindige reeksen). Het is vaak handig of nuttig om extra axioma’s voor een topologie aan te nemen om resultaten vast te stellen die voor een belangrijke klasse van topologische ruimten gelden, maar niet voor alle topologische ruimten. Eén zo’n axioma vereist dat twee verschillende punten tot disjuncte open verzamelingen behoren. Een topologische ruimte die aan dit axioma voldoet, wordt een Hausdorff-ruimte genoemd.