Hilbertruimte

Hilbertruimte, in de wiskunde, een voorbeeld van een oneindig-dimensionale ruimte die een grote invloed heeft gehad in de analyse en topologie. De Duitse wiskundige David Hilbert beschreef deze ruimte voor het eerst in zijn werk over integraalvergelijkingen en Fourierreeksen, dat zijn aandacht in de periode 1902-12 in beslag nam.

Lees meer over dit onderwerp

topologie: Geschiedenis van de topologie

…de topologische eigenschappen van de oneindig-dimensionale Hilbertruimte. Deze inspanningen vormden de voorbode van een nieuw gebied van topologie dat nu…

De punten van de Hilbert-ruimte zijn oneindige reeksen (x1, x2, x3, …) van reële getallen die kwadratisch sommeerbaar zijn, dat wil zeggen, waarvoor de oneindige reeks x12 + x22 + x32 + … convergeert naar een eindig getal. Naar analogie van de n-dimensionale euclidische ruimte is de Hilbert-ruimte een vectorruimte met een natuurlijk inwendig product, of dot-product, dat een afstandsfunctie levert. Onder deze afstandsfunctie wordt het een volledige metrische ruimte en is dus een voorbeeld van wat wiskundigen een volledige binnenproductruimte noemen.

Nadat Hilbert dit had onderzocht, bewezen de Oostenrijks-Duitse wiskundige Ernst Fischer en de Hongaarse wiskundige Frigyes Riesz dat kwadratisch integreerbare functies (functies zodanig dat integratie van het kwadraat van hun absolute waarde eindig is) ook beschouwd kunnen worden als “punten” in een volledige binnenproductruimte die equivalent is aan de Hilbertruimte. In dit verband heeft de Hilbert-ruimte een rol gespeeld in de ontwikkeling van de kwantummechanica, en is zij een belangrijk wiskundig instrument gebleven in de toegepaste wiskunde en de mathematische fysica.

In de analyse luidde de ontdekking van de Hilbert-ruimte de functionele analyse in, een nieuw gebied waarin de wiskundigen de eigenschappen bestuderen van vrij algemene lineaire ruimten. Tot deze ruimten behoren de volledige binnenproductruimten, die nu Hilbertruimten worden genoemd, een benaming die voor het eerst in 1929 werd gebruikt door de Hongaars-Amerikaanse wiskundige John von Neumann om deze ruimten op een abstracte axiomatische wijze te beschrijven. De Hilbert-ruimte is ook een bron geweest voor rijke ideeën in de topologie. Als metrische ruimte kan de Hilbert-ruimte worden beschouwd als een oneindig-dimensionale lineaire topologische ruimte, en in de eerste helft van de 20e eeuw werden belangrijke vragen gesteld over de topologische eigenschappen ervan. Aanvankelijk gemotiveerd door dergelijke eigenschappen van Hilbert-ruimten stichtten onderzoekers in de jaren zestig en zeventig een nieuw deelgebied van de topologie, de oneindig-dimensionale topologie.