Gyroïde

De gyroïde is het unieke niet-triviale ingesloten lid van de geassocieerde familie van de oppervlakken P en D van Schwarz. Zijn associatiehoek met het D-oppervlak is ongeveer 38,01°. De gyroïde is vergelijkbaar met de lidinoïde. De gyroïde werd in 1970 ontdekt door NASA wetenschapper Alan Schoen. Hij berekende de associatiehoek en gaf een overtuigende demonstratie met foto’s van ingewikkelde plastic modellen, maar leverde geen bewijs van ingebedheid. Schoen merkte op dat de gyroïde noch rechte lijnen noch vlakke symmetrieën bevat. Karcher gaf in 1989 een andere, meer eigentijdse behandeling van het oppervlak met behulp van geconjugeerde oppervlakteconstructie. In 1996 bewezen Große-Brauckmann en Wohlgemuth dat het ingesloten is, en in 1997 gaf Große-Brauckmann CMC-varianten van de gyroïde en deed verder numeriek onderzoek naar de volumefracties van de minimale en CMC (constante gemiddelde kromming) gyroïden.

De gyroïde verdeelt de ruimte in twee tegengesteld congruente labyrinten van doorgangen. De gyroide heeft ruimtegroep I4132 (nr. 214). Kanalen lopen door de gyroïde labyrinten in de (100) en (111) richtingen; passages komen te voorschijn onder een hoek van 70,5 graden ten opzichte van een bepaald kanaal als het wordt doorkruist, de richting waarin ze dat doen golft naar beneden in het kanaal, waardoor de naam “gyroïde” ontstaat. Eén manier om het oppervlak te visualiseren is zich de “vierkante catenoïden” van het P-oppervlak voor te stellen (gevormd door twee vierkanten in parallelle vlakken, met een bijna cirkelvormige taille); rotatie om de randen van het vierkant genereert het P-oppervlak. In de geassocieerde familie “openen” deze vierkante catenoïden zich (vergelijkbaar met de manier waarop de catenoïde zich “opent” tot een helicoïde) om gyrerende linten te vormen, en worden dan uiteindelijk het Schwarz D oppervlak. Voor één waarde van de geassocieerde familieparameter liggen de gyrerende linten precies op de plaatsen die nodig zijn om een ingebed oppervlak te hebben.

De gyroïde is het enige bekende ingebedde drievoudig periodieke minimale oppervlak dat drievoudige knooppunten bezit en geen lijnen van reflectiesymmetrie, in tegenstelling tot de vijf minimale oppervlakken die in 1990 door Anderson et al. werden bestudeerd.

De gyroïde verwijst naar het lid dat in de geassocieerde familie van het Schwarz P-oppervlak is, maar in feite bestaat de gyroïde in verschillende families die verschillende symmetrieën van het oppervlak behouden; een meer volledige bespreking van families van deze minimale oppervlakken verschijnt in triply periodic minimal surfaces.

Opvallend genoeg kan het gyroïde-oppervlak, net als sommige andere drievoudig periodieke minimale oppervlakken, trigonometrisch benaderd worden door een korte vergelijking:

sin x cos y + sin y cos z + sin z cos x = 0 {\displaystyle \sin x\cos y+\sin y\cos z+\sin z\cos x=0}