Gaussisch oppervlak

Voorbeelden van geldige (links) en ongeldige (rechts) Gaussische oppervlakken. Links: Enkele geldige Gaussische oppervlakken zijn het oppervlak van een bol, het oppervlak van een torus, en het oppervlak van een kubus. Het zijn gesloten oppervlakken die een 3D volume volledig omsluiten. Rechts: Sommige oppervlakken die NIET als Gaussische oppervlakken kunnen worden gebruikt, zoals het schijfoppervlak, het vierkante oppervlak of het halve boloppervlak. Zij omsluiten een 3D volume niet volledig, en hebben grenzen (rood). Merk op dat oneindige vlakken Gaussische oppervlakken kunnen benaderen.

De meeste berekeningen met Gaussische oppervlakken beginnen met de toepassing van de wet van Gauss (voor elektriciteit):

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=,\!}

S {\displaystyle \scriptstyle S!}

E ⋅ d A = Q enc ε 0 . {E ⋅ d A = Q enc ε 0 . \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q_{\text{enc}}}{\varepsilon _{0}}}.\,\!}

Daarbij is Qenc de elektrische lading die door het Gaussische oppervlak wordt ingesloten.

Dit is de wet van Gauss, die zowel de divergentiestelling als de wet van Coulomb combineert.

Sferisch oppervlakEdit

Een sferisch Gaussisch oppervlak wordt gebruikt bij het vinden van het elektrisch veld of de flux die door een van de volgende:

• een puntlading
• een uniform verdeelde bolvormige schil van lading
• elke andere ladingsverdeling met sferische symmetrie

Het sferische Gaussische oppervlak wordt zo gekozen dat het concentrisch is met de ladingsverdeling.

Als voorbeeld, beschouw een geladen sferische shell S van te verwaarlozen dikte, met een uniform verdeelde lading Q en straal R. Wij kunnen de wet van Gauss gebruiken om de grootte van het resulterende elektrische veld E op een afstand r van het centrum van de geladen shell te vinden. Het is onmiddellijk duidelijk dat voor een bolvormig Gaussisch oppervlak met straal r < R de ingesloten lading nul is: vandaar dat de netto flux nul is en de grootte van het elektrisch veld op het Gaussisch oppervlak ook 0 is (door QA = 0 te laten in de wet van Gauss, waar QA de lading is die door het Gaussisch oppervlak wordt ingesloten).

Met hetzelfde voorbeeld, gebruik makend van een groter Gaussisch oppervlak buiten de schil waar r > R, zal de wet van Gauss een elektrisch veld opleveren dat niet nul is. Dit wordt als volgt bepaald.

De flux uit het bolvormige oppervlak S is:

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}==,\!}

∂ S {\an5886>

∂ S {\an5346>}

⋅ d A = ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ S d A {\displaystyle \mathbf {E} = = d\mathbf {A} = E\int \int _{c}EdAcos 0^{\circ }=E\int \int _{S}dA\,\in}

De oppervlakte van de bol met straal r is

∫ ∫ S d A = 4 π r 2 {\displaystyle \int \!\int _{S}dA=4\pi r^{2}}

wat impliceert

Φ E = E 4 π r 2 {Displaystyle \Phi _{E}=E4\pi r^{2}}

Vanwege de wet van Gauss is de flux ook

Φ E = Q A ε 0 {\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{A}}{varepsilon _{0}}}}

de laatste vergelijking van de uitdrukking voor ΦE geeft de grootte van het E-veld op positie r:

E 4 π r 2 = Q A ε 0 ⇒ E = Q A 4 π ε 0 r 2 . {\displaystyle E4{A}}{4\pi \varepsilon _{0}}}}quad E={\frac {Q_{A}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}.}

Dit niet-triviale resultaat toont aan dat elke bolvormige ladingsverdeling zich gedraagt als een puntlading wanneer deze van buitenaf wordt waargenomen; dit is in feite een verificatie van de wet van Coulomb. En, zoals gezegd, eventuele ladingen aan de buitenkant tellen niet mee.

Cilindrisch oppervlakEdit

Een cilindrisch Gaussisch oppervlak wordt gebruikt bij het vinden van het elektrisch veld of de flux geproduceerd door een van de volgende:

• een oneindig lange lijn van uniforme lading
• een oneindig vlak van uniforme lading
• een oneindig lange cilinder van uniforme lading

Als voorbeeld “veld nabij oneindige lijnlading” wordt hieronder gegeven;

Beschouw een punt P op een afstand r van een oneindige lijnlading met ladingsdichtheid (lading per lengte-eenheid) λ. Stel je een gesloten oppervlak voor in de vorm van een cilinder waarvan de rotatie-as de lijnlading is. Als h de lengte van de cilinder is, dan is de in de cilinder ingesloten lading

q = λ h {\displaystyle q=\lambda h}

,

waarbij q de lading is die ingesloten is in het Gaussisch oppervlak. Er zijn drie oppervlakken a, b en c zoals in de figuur is aangegeven. Het differentiële vectoroppervlak is dA, op elk oppervlak a, b en c.

Gesloten oppervlak in de vorm van een cilinder met lijnlading in het centrum en met differentiële oppervlakten dA van alle drie oppervlakken.

De flux die passeert bestaat uit de drie bijdragen:

Φ E = {displaystyle Φ _{E}=,\!}

A {\displaystyle \scriptstyle A= \,\!}

Scriptstyle A ⋅ d A = ∫ ∫ a E ⋅ d A + ∫ ∫ b E ⋅ d A + ∫ ∫ c E ⋅ d A {{\displaystyle \mathbf {E} +int =int _{a}\mathbf {E} +int +int \in _{b}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +int jip, jip, jip, jip, jip. \cdot d\mathbf {A} }

Voor oppervlakken a en b staan E en dA loodrecht op elkaar.Voor oppervlak c staan E en dA evenwijdig, zoals in de figuur is aangegeven.

Φ E = ∫ a E d A cos 90 ∘ + ∫ ∫ b E d A cos 90 ∘ + ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ c d A {\displaystyle {begin{aligned}\Phi _{E}&=int \!\Eint _{a}EdAcos 90^{\circ }+int _{b}EdAcos 90^{\circ }+int Eint _{c}EdAcos 0^{\circ }&=Eint _{c}EdAcos 0^{\circ }

De oppervlakte van de cilinder is

∫ ∫ c d A = 2 π r h {\displaystyle \int _{c}dA=2\pi rh}

wat impliceert

Φ E = E 2 π r h {Displaystyle \Phi _{E}=E2\pi rh}

Bij de wet van Gauss

Φ E = q ε 0 {\displaystyle \Phi _{E}={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}

Een vergelijking voor ΦE levert

E 2 π r h = λ h ε 0 ⇒ E = λ 2 π ε 0 r {Displaystyle E2 rh={\frac {lambda h}{\varepsilon _{0}}}}quad \Rightarrow \quad E={\frac {lambda }{2\pi \varepsilon _{0}r}}

Gaussische pillendoosEdit

Dit oppervlak wordt meestal gebruikt om het elektrisch veld te bepalen van een oneindige plaat lading met uniforme ladingsdichtheid, of van een plaat lading met een eindige dikte. De pillendoos heeft een cilindrische vorm, en kan worden beschouwd als bestaande uit drie componenten: de schijf aan één eind van de cilinder met oppervlakte πR², de schijf aan het andere eind met gelijke oppervlakte, en de zijkant van de cilinder. De som van de elektrische flux door elke component van het oppervlak is evenredig met de ingesloten lading van de pillendoos, zoals gedicteerd door de Wet van Gauss. Omdat het veld dicht bij de plaat als constant kan worden benaderd, wordt de pillendoos zo georiënteerd dat de veldlijnen de schijven aan de uiteinden van het veld onder een loodrechte hoek binnendringen en de zijkant van de cilinder evenwijdig zijn aan de veldlijnen.