Gauge symmetrie (wiskunde)

In de wiskunde laat elk Lagrangiaans systeem over het algemeen overbrengingssymmetrieën toe, hoewel het kan gebeuren dat ze triviaal zijn. In de theoretische natuurkunde is de notie van ijksymmetrieën afhankelijk van parameterfuncties een hoeksteen van de hedendaagse veldentheorie.

Een ijksymmetrie van een Lagrangiaan L is gedefinieerd als een differentiaaloperator op een of andere vectorbundel E {{\displaystyle E} die zijn waarden neemt in de lineaire ruimte van (variationale of exacte) symmetrieën van L {{\displaystyle L} . Daarom is een ijksymmetrie van L {\displaystyle L} afhankelijk van secties van E {\displaystyle E} en hun partiële afgeleiden. Dit is bijvoorbeeld het geval bij ijksymmetrieën in de klassieke veldentheorie. Yang-Mills ijktheorie en ijkgravitatietheorie zijn voorbeelden van klassieke veldentheorieën met ijksymmetrieën.

ijksymmetrieën bezitten de volgende twee eigenaardigheden.

1. Want het zijn Lagrangiaanse symmetrieën, ijksymmetrieën van een Lagrangiaan voldoen aan de eerste stelling van Noether, maar de bijbehorende behouden stroom J μ {{\displaystyle J^{\mu }} neemt een bepaalde superpotentiaalvorm aan J μ = W μ + d ν U ν μ {{\displaystyle J^{\mu }=W^{\mu }+d_{\nu }U^{\mu }} waarbij de eerste term W μ {\displaystyle W^{\mu }} verdwijnt op oplossingen van de Euler-Lagrange vergelijkingen en de tweede een randterm is, waarbij U ν μ {\displaystyle U^{\nu \mu }} wordt een superpotentiaal genoemd.
2. In overeenstemming met de tweede stelling van Noether is er een-op-een correspondentie tussen de ijksymmetrieën van een Lagrangiaan en de Noetheridentiteiten waaraan de Euler-Lagrange operator voldoet. Derhalve karakteriseren de ijksymmetrieën de ontaarding van een Lagrangiaans systeem.

Merk op dat in de kwantumveldentheorie een voortbrengende functie niet invariant is onder ijkingstransformaties, en dat ijksymmetrieën worden vervangen door de BRST-symmetrieën, die afhankelijk zijn van geesten en zowel op velden als geesten werken.