Galois theorie

VoorgeschiedenisEdit

De theorie van Galois vindt haar oorsprong in de studie van symmetrische functies – de coëfficiënten van een monische polynoom zijn (tot teken) de elementaire symmetrische polynomen in de wortels. Bijvoorbeeld (x – a)(x – b) = x2 – (a + b)x + ab, waarbij 1, a + b en ab de elementaire veeltermen van graad 0, 1 en 2 in twee variabelen zijn.

Dit werd voor het eerst geformaliseerd door de 16e-eeuwse Franse wiskundige François Viète, in Viète’s formules, voor het geval van positieve reële wortels. Volgens de 18e-eeuwse Britse wiskundige Charles Hutton werd de uitdrukking van de coëfficiënten van een veelterm in termen van de wortels (niet alleen voor positieve wortels) voor het eerst begrepen door de 17e-eeuwse Franse wiskundige Albert Girard; Hutton schrijft:

… de eerste persoon die de algemene leer begreep van de vorming van de coëfficiënten van de machten uit de som van de wortels en hun producten. Hij was de eerste die de regels ontdekte voor het sommeren van de machten van de wortels van een willekeurige vergelijking.

In deze geest is de discriminant een symmetrische functie in de wortels die eigenschappen van de wortels weerspiegelt – zij is nul als en slechts als de veelterm een meervoudige wortel heeft, en voor kwadratische en kubische veeltermen is zij positief als en slechts als alle wortels reëel en onderscheiden zijn, en negatief als en slechts als er een paar onderscheiden complex-geconjugeerde wortels is. Zie Discriminant:Aard van de wortels voor details.

De kubiek werd voor het eerst gedeeltelijk opgelost door de 15-16e-eeuwse Italiaanse wiskundige Scipione del Ferro, die zijn resultaten echter niet publiceerde; deze methode loste echter slechts één type kubische vergelijking op. Deze oplossing werd vervolgens in 1535 onafhankelijk herontdekt door Niccolò Fontana Tartaglia, die ze deelde met Gerolamo Cardano, die hem vroeg ze niet te publiceren. Cardano breidde dit vervolgens uit tot talrijke andere gevallen, gebruikmakend van soortgelijke argumenten; zie voor meer details bij Cardano’s methode. Na de ontdekking van del Ferro’s werk, vond hij dat Tartaglia’s methode niet langer geheim was, en dus publiceerde hij zijn oplossing in zijn Ars Magna uit 1545. Zijn leerling Lodovico Ferrari loste de kwartische veelterm op; ook zijn oplossing werd opgenomen in Ars Magna. In dit boek gaf Cardano echter geen “algemene formule” voor de oplossing van een kubische vergelijking, omdat hij noch over complexe getallen beschikte, noch over de algebraïsche notatie om een algemene kubische vergelijking te kunnen beschrijven. Met de moderne notatie en de complexe getallen werken de formules in dit boek wel in het algemene geval, maar Cardano wist dit niet. Het was Rafael Bombelli die erin slaagde te begrijpen hoe te werken met complexe getallen om alle vormen van kubische vergelijkingen op te lossen.

Een volgende stap was het artikel Réflexions sur la résolution algébrique des équations uit 1770 van de Frans-Italiaanse wiskundige Joseph Louis Lagrange, in zijn methode van Lagrange-resolvents, waarin hij de oplossing van kubieken en kwartieken door Cardano en Ferrari analyseerde door ze te beschouwen in termen van permutaties van de wortels, die een hulppolynoom van lagere graad opleverden, waardoor een eenduidig begrip van de oplossingen ontstond en de basis werd gelegd voor de groepentheorie en de theorie van Galois. Van cruciaal belang is echter dat hij geen rekening hield met de samenstelling van permutaties. Lagrange’s methode strekte zich niet uit tot quintische vergelijkingen of hoger, omdat de resolvent een hogere graad had.

De quintische werd bijna bewezen geen algemene oplossingen te hebben door radikalen door Paolo Ruffini in 1799, wiens belangrijkste inzicht was om permutatiegroepen te gebruiken, niet slechts een enkele permutatie. Zijn oplossing bevatte een hiaat, dat Cauchy van ondergeschikt belang achtte. Dit hiaat werd echter pas gedicht door het werk van de Noorse wiskundige Niels Henrik Abel, die in 1824 een bewijs publiceerde en zo de stelling van Abel-Ruffini vaststelde.

Terwijl Ruffini en Abel vaststelden dat de algemene kwintische niet kon worden opgelost, konden sommige bijzondere kwintische kwintische kwintische kwinten wel worden opgelost, zoals x5 – 1 = 0, en het precieze criterium waarmee kon worden bepaald of een gegeven kwintische of hogere veelterm al dan niet oplosbaar was, werd gegeven door Évariste Galois, die aantoonde dat het al dan niet oplosbaar zijn van een polynoom gelijk was aan het al dan niet hebben van een bepaalde structuur in de permutatiegroep van de wortels – in moderne termen, de Galois-groep – een oplosbare groep was. Deze groep was altijd oplosbaar voor veeltermen van graad vier of minder, maar niet altijd voor veeltermen van graad vijf en hoger, hetgeen verklaart waarom er geen algemene oplossing is in hogere graden.

Galois’ geschriftenEdit

Een portret van Évariste Galois van ongeveer 15 jaar

In 1830 diende Galois (op 18-jarige leeftijd) bij de Parijse Academie van Wetenschappen een memorie in over zijn theorie van oplosbaarheid door radikalen; Galois’ verhandeling werd uiteindelijk in 1831 verworpen omdat ze te schetsmatig was en omdat hij een voorwaarde gaf in termen van de wortels van de vergelijking in plaats van de coëfficiënten. Galois stierf vervolgens in een duel in 1832, en zijn verhandeling, “Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux”, bleef ongepubliceerd tot 1846, toen het werd gepubliceerd door Joseph Liouville, vergezeld van enkele van zijn eigen toelichtingen. Voorafgaand aan deze publicatie kondigde Liouville het resultaat van Galois aan de Academie aan in een toespraak die hij hield op 4 juli 1843. Volgens Allan Clark heeft Galois’ karakterisering “het werk van Abel en Ruffini dramatisch overtroffen.”

NasleepEdit

Galois’ theorie was notoir moeilijk te begrijpen voor zijn tijdgenoten, vooral tot op het niveau waarop zij haar konden uitbreiden. Zo miste Liouville in zijn commentaar van 1846 volledig de groepentheoretische kern van Galois’ methode. Joseph Alfred Serret, die enkele van Liouville’s voordrachten bijwoonde, nam Galois’ theorie op in zijn leerboek Cours d’algèbre supérieure uit 1866 (derde editie). De leerling van Serret, Camille Jordan, had een nog beter inzicht dat tot uiting kwam in zijn boek Traité des substitutions et des équations algébriques uit 1870. Buiten Frankrijk bleef de theorie van Galois langer obscuur. In Groot-Brittannië slaagde Cayley er niet in de diepgang ervan te begrijpen en in populaire Britse algebra-teksten werd de theorie van Galois pas ver na de eeuwwisseling vermeld. In Duitsland richtten Kroneckers geschriften zich meer op het resultaat van Abel. Dedekind schreef weinig over de theorie van Galois, maar gaf er in 1858 een lezing over in Göttingen en gaf blijk van een zeer goed begrip. De boeken van Eugen Netto in de jaren 1880, gebaseerd op de Traité van Jordan, maakten de theorie van Galois toegankelijk voor een breder Duits en Amerikaans publiek, evenals het leerboek over algebra van Heinrich Martin Weber uit 1895.