Articles / december 24, 2021

Galileïtransformaties – Natuurkundelessen

Galileïtransformaties worden gebruikt om een aantal fysische grootheden zoals positiecoördinaten, snelheid, versnelling, tijd, enz. van het ene inertiale referentiekader naar een ander referentiekader te transformeren.

Om bovenstaande feiten uit te leggen, beschouwen we twee referentiekaders S en S’ zoals weergegeven in Fig. Het kader s is in rust en het kader s’ beweegt langs de X-richting met snelheid v.

Veronderstel dat er twee waarnemers zijn die de reeks gebeurtenissen observeren, zoals de positie van het lichaam met massa m als functie van de tijd. De ene voert het experiment uit met betrekking tot inertiaalkader x,y,z en de andere bevindt zich in het geprimede coördinatenstelsel x’,y’,z’. Het geprimede coördinatenstelsel is in relatieve beweging ten opzichte van het traagheidscoördinatenstelsel

Laat een gebeurtenis plaatsvinden in punt P. Dit kan worden waargenomen door twee waarnemers, waarvan de ene aanwezig is bij de oorsprong O van de kaders en de andere waarnemer bij de oorsprong O’ van het kaderS’. Op t = 0 vallen de oorsprongen O en O’ van de kaders S en S’. samen.

Laat r de positie van de massa zijn ten opzichte van het traagheidsframe en r’ de positie ten opzichte van het geprimeerde coördinaat. De oorsprong van twee systemen wordt verplaatst door R.

$\bar{r}'=\bar{r}-\bar{R}$ ………………..(1.1)

Het nemen van afgeleiden

$\bar{v}'=\bar{v}-\bar{V}$ ………………..(1.2)

$\bar{a}'=\bar{a}-\bar{A}$ ………………..(1.2)

$\bar{a}'=\bar{a}-\bar{A}$ ………………..(1.3)

.3)

als $\bar{V}$ constant is of met andere woorden de relatieve beweging van de geprimeerde coördinaten is uniform, $\bar{A}=0$

of

$\bar{a}'=\bar{a}\Rightarrow m\bar{a}'=m\bar{a}$

Dus is de versnelling bij een deeltje in inertiale referentiekaders hetzelfde, ook al bewegen ze met constante snelheid ten opzichte van elkaar.

of

$\bar{F}'=\bar{F}$

Waar $\bar{F}$ de kracht is die het gevolg is van de fysische wisselwerking die in het inertiale frame wordt waargenomen en $\bar{F}'$ dezelfde kracht is die in het inertiale coördinaat wordt gemeten. De kracht is hetzelfde in beide coördinatenstelsels. Aldus zijn de bewegingsvergelijkingen in een systeem dat eenparig beweegt ten opzichte van een inertiaalstelsel identiek aan die in het inertiaalstelsel. Alle stelsels die eenparig transleren ten opzichte van inertiaalstelsels zijn identiek. Of de Tweede Bewegingswet is invariant onder de Galileïsche Transformatie

Natuurlijk zouden de bovenstaande argumenten alleen geldig zijn als de relatieve beweging van het geprimeerde coördinatensysteem op geen enkele manier vergelijkbaar is met de lichtsnelheid. Als het systeem beweegt met een snelheid die vergelijkbaar is met die van het licht, zouden er verschillende complicaties zijn. Dit zou later worden besproken aan de hand van Einsteinspeciale relativiteitstheorie.

Als we de oorsprong van de coördinatenstelsels zo kiezen dat ze samenvallen op t = 0, $\bar{R}=\bar{V}t$ dan kunnen we,

$\bar{r}'=\bar{r}-\bar{V}t$ en $t'=t$

Deze staan bekend als Galileïtransformaties.

Laat de coördinaten van P zoals waargenomen vanuit O is (x, y, z, t) en vanuit O’ is (x’, y’, z’, t’). Het verband tussen de coördinaten van P in de kaders S en S’ is

x’ = x – vt,

y’ = y,

z’ = z