Differentiaalmeetkunde

Differentiaalmeetkunde, tak van de wiskunde die de meetkunde van krommen, oppervlakken, en manifolds (de hoger-dimensionale analoga van oppervlakken) bestudeert. De discipline dankt haar naam aan het gebruik van ideeën en technieken uit de differentiaalrekening, hoewel het moderne vak vaak gebruik maakt van algebraïsche en zuiver meetkundige technieken in plaats daarvan. Hoewel de basisdefinities, de notaties en de analytische beschrijvingen sterk uiteenlopen, overheersen de volgende meetkundige vragen: Hoe meet men de kromming van een kromme binnen een oppervlak (intrinsiek) tegenover binnen de omringende ruimte (extrinsiek)? Hoe kan de kromming van een oppervlak worden gemeten? Wat is het kortste pad binnen een oppervlak tussen twee punten op het oppervlak? Hoe is het kortste pad op een oppervlak gerelateerd aan het begrip rechte lijn?

Britannica Quiz

All About Math Quiz

Je algebra-leraar had gelijk. Je zult wiskunde nog gebruiken na je afstuderen. Voor deze quiz! Kijk wat je nog weet van school, en misschien leer je nog wat nieuwe feiten.

Terwijl krommen al sinds de oudheid bestudeerd werden, maakte de ontdekking van de calculus in de 17e eeuw de studie van ingewikkelder vlakke krommen mogelijk – zoals die van de Franse wiskundige René Descartes (1596-1650) met zijn “kompas” (zie Geschiedenis van de geometrie: Cartesiaanse geometrie). In het bijzonder leidde de integraalrekening tot algemene oplossingen van de oude problemen van het vinden van de booglengte van vlakke krommen en de oppervlakte van vlakke figuren. Dit opende de weg naar het onderzoek van krommen en oppervlakken in de ruimte – een onderzoek dat het begin was van de differentiaalmeetkunde.

Enkele van de fundamentele ideeën van de differentiaalmeetkunde kunnen worden geïllustreerd met de gleuf, een spiraalvormige strook die vaak door ingenieurs wordt ontworpen om grote metalen cilinders, zoals schoorstenen, constructief te ondersteunen. Een zeeg kan worden gevormd door een ringvormige strook (het gebied tussen twee concentrische cirkels) uit een vlakke staalplaat te snijden en deze dan te buigen tot een spiraal die rond de cilinder spiraalt, zoals in de figuur is te zien. Wat moet de straal r van de ring zijn om de beste passing te krijgen? Differentiaalmeetkunde biedt de oplossing voor dit probleem door een nauwkeurige maat te bepalen voor de kromming van een kromme; vervolgens kan r worden aangepast totdat de kromming van de binnenrand van de annulus overeenkomt met de kromming van de helix.

Een belangrijke vraag blijft: Kan de ringvormige strook, zonder uitrekking, zo gebogen worden dat hij een zeestraat rond de cilinder vormt? In het bijzonder betekent dit dat de afstanden gemeten langs het oppervlak (intrinsiek) onveranderd blijven. Men zegt dat twee oppervlakken isometrisch zijn als het ene kan worden gebogen (of getransformeerd) in het andere zonder de intrinsieke afstanden te veranderen. (Bijvoorbeeld, omdat een vel papier tot een koker kan worden gerold zonder dat het uitrekt, zijn het vel en de koker “plaatselijk” isometrisch – alleen plaatselijk omdat er nieuwe, en mogelijk kortere, routes ontstaan door de twee randen van het papier met elkaar te verbinden). De tweede vraag wordt dus: Zijn de ringvormige strook en de strook isometrisch? Om deze en soortgelijke vragen te beantwoorden, ontwikkelde de differentiaalmeetkunde het begrip kromming van een oppervlak.