Deel 14 : Dot- en Hadamardproduct

Naast de eerder besproken matrixvermenigvuldiging kunnen vectoren nog met twee andere methoden worden vermenigvuldigd: Dot product en Hadamard Product. De resultaten van beide methoden zijn verschillend.

De elementen die overeenkomen met dezelfde rij en kolom worden met elkaar vermenigvuldigd en de producten worden zo opgeteld dat het resultaat een scalair is.

In tegenstelling tot matrixvermenigvuldiging is het resultaat van dotproduct niet een andere vector of matrix, het is een scalair.

Orde van vectoren doet er niet toe voor dotproduct, alleen het aantal elementen in beide vectoren moet gelijk zijn.

De meetkundige formule van het scalair product is

Dotproduct wordt ook wel binnenproduct of scalair product genoemd.

Projectie van vector

Aannemend dat we twee vectoren c en d hebben, onderhevig aan hoek, phi(Ф).

Nu, de projectie van vector c op vector d kan worden voorgesteld als

Uit de figuur kunnen we afleiden dat de projectie gelijk is aan de horizontale component van vector c ten opzichte van de hoek phi(Ф).

Dit heet scalaire projectie.Om de vectorprojectie van vector c op vector d te vinden moeten we scalaire projectie vermenigvuldigen met eenheidsvector d.

Substituerende waarde van eenheidsvector d.

Dus, zou het scalair product ook kunnen worden voorgesteld als

Projecties worden veel gebruikt in lineaire algebra en machine learning (Support Vector Machine(SVM) is een machine learning algoritme, gebruikt voor classificatie van gegevens).

Hadamardproduct (Elementgewijze vermenigvuldiging)

Hadamardproduct van twee vectoren lijkt sterk op matrixoptelling, elementen die overeenkomen met dezelfde rij en kolommen van gegeven vectoren/matrices worden met elkaar vermenigvuldigd om een nieuwe vector/matrix te vormen.

Het is genoemd naar de Franse wiskundige Jacques Hadamard.

De volgorde van de te vermenigvuldigen matrices/vectoren moet dezelfde zijn en de resulterende matrix zal ook van dezelfde volgorde zijn.

Hadamard product wordt gebruikt in beeldcompressietechnieken, zoals JPEG. Het is ook bekend als Schur-product naar de Duitse wiskundige Issai Schur.

Hadamardproduct wordt gebruikt in LSTM-cellen (Long Short-Term Memory) van recurrente neurale netwerken (Recurrent Neural Networks, RNN’s).