Continuüm hypothese

Continuüm hypothese, uitspraak in de verzamelingenleer dat de verzameling van reële getallen (het continuüm) in zekere zin zo klein is als maar kan zijn. In 1873 bewees de Duitse wiskundige Georg Cantor dat het continuüm niet telbaar is – dat wil zeggen dat de reële getallen een grotere oneindigheid zijn dan de telgetallen – een belangrijk resultaat om de verzamelingenleer als wiskundig vak te beginnen. Bovendien ontwikkelde Cantor een manier om de grootte van oneindige verzamelingen te classificeren volgens het aantal elementen ervan, of de kardinaliteit. (Zie verzamelingenleer: Kardinaliteit en transfiniete getallen.) In deze termen kan de continuüm-hypothese als volgt worden gesteld: De kardinaliteit van het continuüm is het kleinste niet-telbare kardinale getal.

Lees meer over dit onderwerp

verzamelingstheorie: Cardinaliteit en transfiniete getallen

…een vermoeden dat bekend staat als de continuümhypothese.

In Cantors notatie kan de continuüm-hypothese worden gesteld door de eenvoudige vergelijking 2ℵ0 = ℵ1, waarbij ℵ0 het kardinaal getal is van een oneindig aftelbare verzameling (zoals de verzameling natuurlijke getallen), en de kardinaal getallen van grotere “goed ordenbare verzamelingen” zijn ℵ1, ℵ2, …, ℵα, …, geïndexeerd door de rangtelwoorden. De kardinaliteit van het continuüm is aantoonbaar gelijk aan 2ℵ0; de continuümhypothese sluit dus het bestaan uit van een verzameling van grootte tussen de natuurlijke getallen en het continuüm.

Een sterkere uitspraak is de gegeneraliseerde continuümhypothese (GCH): 2ℵα = ℵα + 1 voor elk rangtelwoord α. De Poolse wiskundige Wacław Sierpiński bewees dat men met GCH het keuzeaxioma kan afleiden.

Zoals bij het keuzeaxioma bewees de in Oostenrijk geboren Amerikaanse wiskundige Kurt Gödel in 1939 dat, als de andere standaard Zermelo-Fraenkel axioma’s (ZF; zie de tabel) consistent zijn, zij de continuümhypothese of zelfs GCH niet ontkrachten. Dat wil zeggen, het resultaat van het toevoegen van GCH aan de andere axioma’s blijft consistent. In 1963 maakte de Amerikaanse wiskundige Paul Cohen het plaatje compleet door aan te tonen, wederom onder de aanname dat ZF consistent is, dat ZF geen bewijs voor de continuümhypothese oplevert.

Omdat ZF de continuümhypothese bewijst noch weerlegt, blijft de vraag of de continuümhypothese moet worden aanvaard op basis van een informeel concept van wat verzamelingen zijn. Het algemene antwoord in de wiskundige gemeenschap is negatief: de continuümhypothese is een beperkende uitspraak in een context waarin er geen bekende reden is om een limiet op te leggen. In de verzamelingenleer kent de macht-verzameling operatie aan elke verzameling met kardinaliteit ℵα haar verzameling van alle deelverzamelingen toe, die kardinaliteit 2ℵα heeft. Er lijkt geen reden te zijn om een limiet te stellen aan de verscheidenheid van deelverzamelingen die een oneindige verzameling kan hebben.