Barycentrische coördinaten

Aan het eind van de bespreking van de stelling van Ceva kwamen we tot de conclusie dat er voor elk punt K binnen ΔABC drie massa’s wA, wB, en wC bestaan zodanig dat, indien geplaatst op de overeenkomstige hoekpunten van de driehoek, hun zwaartepunt (barycentrum) samenvalt met het punt K. August Ferdinand Moebius (1790-1868) definieerde (1827) wA, wB, en wC als de barycentrische coördinaten van K. (Het is mogelijk om te veralgemenen en ook negatieve massa’s te beschouwen voor punten buiten de driehoek. Dit is voor mijn doel niet nodig). Zoals gedefinieerd, zijn de barycentrische coördinaten niet uniek. De massa’s kwA, kwB, en kwC hebben precies hetzelfde zwaartepunt voor elke k > 0. De barycentrische coördinaten zijn dus een vorm van algemene homogene coördinaten die in veel takken van de wiskunde (en zelfs in computergrafiek) gebruikt worden. Met één extra voorwaarde

zijn de barycentrische coördinaten uniek gedefinieerd voor elk punt binnen de driehoek. (Barycentrische coördinaten die voldoen aan (*) worden areale coördinaten genoemd omdat, als de oppervlakte van ΔABC 1 is, de gewichten w gelijk zijn aan de oppervlakten van de driehoeken KBC, KAC, en KAB). Omdat het zwaartepunt van twee willekeurige punten op het verbindingsstuk ligt, is wA = 0 voor punten op BC, wB = 0 voor punten op AC, en wC = 0 op AB. De hoekpunten A,B,C hebben respectievelijk coördinaten (1,0,0), (0,1,0) en (0,0,1).

De gebruikelijke manier om het zwaartepunt van drie punten met gegeven massa’s te bepalen (laten we die punten materiaal noemen) is door eerst de som van de massa’s van twee willekeurige punten in hun zwaartepunt te plaatsen. Nu herhaalt men dezelfde (1-dimensionale) operatie door het nieuwe en het derde overblijvende punt te koppelen. (De redenering is geformaliseerd binnen de affiene meetkunde. Ik geef er de voorkeur aan de discussie intuïtief te houden). Uitgaande van (*), als wA vastgehouden wordt, zal de som wB + wC dat ook zijn. Hieruit volgt dat voor twee mogelijke posities D en D’ van het zwaartepunt van B en C, we DK/KA = wA/(wB + wC) = D’K’/K’A. Daarom is KK’ evenwijdig met BC. Met andere woorden, de vergelijking wA = const beschrijft de lijnen evenwijdig met BC. Zoals we al zagen is de vergelijking van BC wA = 0. Eenzelfde verband bestaat tussen wB en AC en wC en AB.

Als Mb en Mc middens zijn van respectievelijk AC en AB, dan is de vergelijking van MbMc wA = 1/2. Evenzo is MaMc = {(wA, wB, wC): wB = 1/2} en MaMb = {(wA, wB, wC): wC = 1/2}.

Laten we eens kijken naar het diagram hiernaast. In de blauwe driehoek zijn alle drie de coördinaten kleiner dan 1/2. Daarom is het eerste cijfer van hun binaire voorstelling nul. In de rode driehoeken zijn twee coördinaten kleiner dan 1/4 terwijl de derde tussen 1/2 en 3/4 ligt. Daarom is in de rode driehoeken het tweede binaire cijfer van alle drie de coördinaten nul. Dit leidt tot de tremaverwijderingsprocedure voor de constructie van de pakking van Sierpinski en geeft een aanwijzing voor de Beschrijving ervan in de barycentrische coördinaten.

Barycentrische coördinaten ontstaan op natuurlijke wijze telkens wanneer variabele grootheden een constante som hebben. Het drie-glazen-probleem, waarbij men water van het ene glas in het andere giet in de onrealistische veronderstelling dat daarbij geen druppel water gemorst zal worden, is een treffend voorbeeld. Het probleem illustreert prachtig het concept van barycentrische coördinaten.

Barycenter en Barycentrische Coördinaten

1. 3D Quadrilateral – a Coffin Problem
2. Barycentric Coordinates
3. Barycentric Coordinates: een hulpmiddel
4. Barycentrische Coördinaten en Geometrische Waarschijnlijkheid
   • Stok in drie stukken gebroken (Trilineaire Coördinaten)
   • Stok in drie stukken gebroken (Cartesische Coördinaten)
5. De stelling van Ceva
6. Determinanten, Oppervlakte, and Barycentric Coordinates
7. Maxwell Theorem via the Center of Gravity
8. Bimedianen in een Quadrilateraal
9. Simultaneous Generalization of the Theorems of Ceva and Menelaus
   • Theorems of Ceva and Menelaus, een geïllustreerde veralgemening
10. Drie glazen puzzel
11. Van Obel Stelling en Barycentrische Coördinaten
12. 1961 IMO, Opgave 4. Een oefening in barycentrische coördinaten
13. Centroïden in veelhoeken
14. Zwaartepunt en beweging van materiële punten
15. Isotomische wederkerigheid
16. Een affiene Eigenschap van Barycentrum
17. Probleem in Directe Gelijkvormigheid
18. Cirkels in Barycentrische Coördinaten
19. Barycentrum van Ceviaanse Driehoek
20. Gelijklopende Koorden in een Cirkel, Gelijkhellend

|Contact|Voorpagina||Inhoud||Geometrie|