Mathematics for the Liberal Arts

Learning Outcomes

  • Bestimmen und identifizieren Sie Selbstähnlichkeit in geometrischen Formen, Pflanzen, und geologischen Formationen
  • Generieren Sie eine fraktale Form anhand eines Initiators und eines Generators
  • Skalieren Sie ein geometrisches Objekt mit einem bestimmten Skalierungsfaktor unter Verwendung der Skalierungsdimensionsbeziehung
  • Bestimmen Sie die fraktale Dimension eines fraktalen Objekts

Neben der visuellen Selbstähnlichkeit weisen Fraktale weitere interessante Eigenschaften auf. Man beachte zum Beispiel, dass bei jedem Schritt der Iteration der Sierpinski-Dichtung ein Viertel der verbleibenden Fläche entfernt wird. Wenn dieser Prozess unbegrenzt fortgesetzt wird, würde am Ende im Wesentlichen die gesamte Fläche entfernt, was bedeutet, dass wir mit einer zweidimensionalen Fläche begonnen haben und am Ende etwas haben, das kleiner ist als diese, aber anscheinend mehr als eine eindimensionale Linie.

Um diese Idee zu erforschen, müssen wir über Dimensionen sprechen. Etwas wie eine Linie ist 1-dimensional; sie hat nur eine Länge. Jede Kurve ist 1-dimensional. Dinge wie Kästen und Kreise sind 2-dimensional, da sie eine Länge und eine Breite haben, die eine Fläche beschreiben. Objekte wie Kästchen und Zylinder haben Länge, Breite und Höhe, die ein Volumen beschreiben, und sind 3-dimensional.

1-dimensionale Objekte sind eine gerade Linie und eine unregelmäßige Wellenlinie. Zu den 2-dimensionalen Objekten gehören ein Rechteck, ein Dreieck und ein Kreis. Zu den 3-dimensionalen Objekten gehören ein Würfel und ein Zylinder.

Für die Skalierung von Objekten gelten bestimmte Regeln, die sich auf ihre Dimension beziehen.

Wenn ich eine Linie der Länge 1 hätte und ihre Länge um 2 skalieren wollte, bräuchte ich zwei Kopien der ursprünglichen Linie. Hätte ich eine Linie der Länge 1 und wollte ihre Länge um 3 skalieren, bräuchte ich drei Kopien des Originals.

1, eine horizontale Linie. 2, eine horizontale Linie, die doppelt so lang ist. 3, eine horizontale Linie, die dreimal so lang ist.

Wenn ich ein Rechteck mit der Länge 2 und der Höhe 1 hätte und seine Länge und Breite um 2 skalieren wollte, bräuchte ich vier Kopien des ursprünglichen Rechtecks. Wenn ich die Länge und die Breite um 3 skalieren wollte, bräuchte ich neun Kopien des ursprünglichen Rechtecks.

Ein Rechteck mit den Seitenmaßen 1 und 2. Dann vier Kopien dieses Rechtecks, um ein größeres Rechteck mit den Seitenlängen 2 und 4 zu bilden. Dann neun Kopien des ersten Rechtecks, um ein größeres Rechteck mit den Seitenmaßen 3 und 6 zu bilden.

Wenn ich einen Würfel mit der Seitenlänge 1 hätte und seine Länge und Breite um 2 skalieren wollte, bräuchte ich acht Kopien des ursprünglichen Würfels. Wenn ich die Länge und Breite mit 3 skalieren wollte, bräuchte ich 27 Kopien des ursprünglichen Würfels.

Ein Würfel mit den Seitenmaßen 1 x 1 x 1. Dann acht Kopien dieses Würfels, um einen größeren Würfel mit den Seitenmaßen 2 x 2 x 2 zu bilden. Dann 27 Kopien des ursprünglichen Würfels, um einen größeren Würfel mit den Seitenmaßen 3 x 3 x 3 zu bilden.

Beachte, dass im eindimensionalen Fall die benötigten Kopien gleich dem Maßstab sind.

Im zweidimensionalen Fall sind die benötigten Kopien gleich dem Maßstab^{2}.

Im dreidimensionalen Fall sind die benötigten Kopien gleich dem Maßstab^{3}.

Aus diesen Beispielen können wir ein Muster ableiten.

Skalierung-Dimension-Beziehung

Um eine D-dimensionale Form um einen Skalierungsfaktor S zu skalieren, ist die Anzahl der benötigten Kopien C der ursprünglichen Form gegeben durch:

\text{Kopien}=\text{Skala}^{\text{Dimension}}, oder C=S^{D}

Beispiel

Benutzen Sie die Skalierung-Dimension-Beziehung, um die Dimension der Sierpinski-Dichtung zu bestimmen.

Angenommen, die ursprüngliche Dichtung hat die Seitenlänge 1. Die dargestellte größere Dichtung ist doppelt so breit und doppelt so hoch, wurde also um den Faktor 2 skaliert.

Sierpinski-Dichtungsdreieck. Als nächstes ein größeres Dreieck, das aus drei Sierpinski-Dichtungsdreiecken und einem weißen Dreieck in der Mitte besteht.

Beachte, dass zur Konstruktion der größeren Dichtung drei Kopien der ursprünglichen Dichtung benötigt werden.

Wenn man die Skalierungs-Dimensions-Relation C=S^{D} verwendet, erhält man die Gleichung 3=2^{D}.

Da 2^{1}=2 und 2^{2}=4 ist, können wir sofort sehen, dass D irgendwo zwischen 1 und 2 liegt; die Dichtung ist mehr als eine 1-dimensionale Form, aber wir haben so viel Fläche weggenommen, dass sie jetzt weniger als 2-dimensional ist.

Die Lösung der Gleichung 3=2^{D} erfordert Logarithmen. Wenn du dich früher mit Logarithmen beschäftigt hast, erinnerst du dich vielleicht daran, wie man diese Gleichung löst (wenn nicht, geh einfach zum folgenden Kasten und benutze diese Formel mit der Logarithmentaste auf einem Taschenrechner):

Nimm den Logarithmus beider Seiten.

3={{2}^{D}}

Benutze die Exponenteneigenschaft von Logarithmen.

\log(3)=\log\left({{2}^{D}}\right)

Dividiere durch log(2).

\log(3)=D\log\left(2\right)

Die Abmessung der Dichtung beträgt etwa 1,585.

D=\frac{\log\left(3\right)}{\log(2)}approx1.585

Skalierungs-Dimensions-Relation, um die Dimension zu finden

Um die Dimension D eines Fraktals zu finden, bestimmen Sie den Skalierungsfaktor S und die Anzahl der benötigten Kopien C der ursprünglichen Form, Verwenden Sie dann die Formel

D=\frac{\log\left(C\right)}{\log(S)}

Versuchen Sie es

Bestimmen Sie die fraktale Dimension des Fraktals, das mit dem Initiator und dem Generator erzeugt wurde.

Initiator ist ein Quadrat. Generator sind fünf Quadrate, die ein Schachbrettmuster bilden.
Lösung anzeigen

Die Skalierung des Fraktals um den Faktor 3 erfordert 5 Kopien des Originals.

D=\frac{\text{log}\left(5\right)}{\text{log}\left(3\right)}\approx1.465

Im folgenden Video wird anhand eines praktischen Beispiels gezeigt, wie man die Dimension der Sierpinski-Dichtung bestimmt

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