Kontinuumshypothese

Kontinuumshypothese, Aussage der Mengenlehre, dass die Menge der reellen Zahlen (das Kontinuum) in gewissem Sinne so klein ist, wie sie sein kann. 1873 bewies der deutsche Mathematiker Georg Cantor, dass das Kontinuum nicht abzählbar ist, d.h. die reellen Zahlen sind eine größere Unendlichkeit als die zählenden Zahlen – ein Schlüsselergebnis für den Beginn der Mengenlehre als mathematisches Fach. Darüber hinaus entwickelte Cantor eine Methode zur Klassifizierung der Größe unendlicher Mengen nach der Anzahl ihrer Elemente oder ihrer Kardinalität. (Siehe Mengenlehre: Kardinalität und transfinite Zahlen.) Die Kontinuumshypothese lässt sich wie folgt formulieren: Die Kardinalität des Kontinuums ist die kleinste nicht abzählbare Kardinalzahl.

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Mengenlehre: Kardinalität und transfinite Zahlen

…eine als Kontinuumshypothese bekannte Vermutung.

In Cantors Notation kann die Kontinuumshypothese durch die einfache Gleichung 2ℵ0 = ℵ1 angegeben werden, wobei ℵ0 die Kardinalzahl einer unendlichen abzählbaren Menge (wie der Menge der natürlichen Zahlen) ist und die Kardinalzahlen größerer „wohlgeordneter Mengen“ ℵ1, ℵ2, …, ℵα, …, indiziert durch die Ordnungszahlen. Es kann gezeigt werden, dass die Kardinalität des Kontinuums gleich 2ℵ0 ist; somit schließt die Kontinuumshypothese die Existenz einer Menge mit einer Größe zwischen den natürlichen Zahlen und dem Kontinuum aus.

Eine stärkere Aussage ist die verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH): 2ℵα = ℵα + 1 für jede Ordinalzahl α. Der polnische Mathematiker Wacław Sierpiński bewies, dass man aus der GCH das Auswahlaxiom ableiten kann.

Wie beim Auswahlaxiom bewies der in Österreich geborene amerikanische Mathematiker Kurt Gödel 1939, dass, wenn die anderen Standard-Zermelo-Fraenkel-Axiome (ZF; siehe Tabelle) konsistent sind, sie die Kontinuumhypothese oder sogar die GCH nicht widerlegen. Das heißt, das Ergebnis der Addition von GCH zu den anderen Axiomen bleibt konsistent. 1963 vervollständigte der amerikanische Mathematiker Paul Cohen das Bild, indem er, wiederum unter der Annahme, dass ZF konsistent ist, zeigte, dass ZF keinen Beweis für die Kontinuumshypothese liefert.

Da ZF die Kontinuumshypothese weder beweist noch widerlegt, bleibt die Frage, ob man die Kontinuumshypothese auf der Grundlage eines informellen Konzepts von Mengen akzeptieren soll. Die allgemeine Antwort in der mathematischen Gemeinschaft war negativ: Die Kontinuumshypothese ist eine einschränkende Aussage in einem Kontext, in dem es keinen bekannten Grund gibt, eine Einschränkung vorzunehmen. In der Mengenlehre ordnet die Potenzmengenoperation jeder Menge der Kardinalität ℵα ihre Menge aller Teilmengen zu, die die Kardinalität 2ℵα hat. Es scheint keinen Grund zu geben, die Vielfalt der Untermengen, die eine unendliche Menge haben kann, zu begrenzen.