Kointegration: Definition, Beispiele, Tests

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Sie sollten diesen Artikel zuerst lesen: Was ist die Integrationsordnung?

Cointegrationstests analysieren nicht-stationäre Zeitreihen – Prozesse, die Varianzen und Mittelwerte haben, die im Laufe der Zeit variieren. Mit anderen Worten, die Methode ermöglicht die Schätzung der langfristigen Parameter oder des Gleichgewichts in Systemen mit Einheitswurzelvariablen (Rao, 2007).

Zwei Gruppen von Variablen sind kointegriert, wenn eine lineare Kombination dieser Variablen eine niedrigere Integrationsordnung aufweist. Beispielsweise liegt Kointegration vor, wenn ein Satz von I(1)-Variablen mit Linearkombinationen modelliert werden kann, die I(0) sind. Die Integrationsordnung in diesem Fall – I(1) – besagt, dass ein einziger Satz von Differenzen die nicht-stationären Variablen in Stationarität umwandeln kann. Obwohl ein Diagramm manchmal Aufschluss darüber geben kann, ob es sich um einen I(1)-Prozess handelt, müssen Sie möglicherweise einen Test wie den KPSS-Test oder den Augmented Dickey-Fuller-Test durchführen, um dies herauszufinden.

Hintergrund

Um Zeitreihen mit klassischen Methoden wie der gewöhnlichen kleinsten Quadrate zu analysieren, wird eine Annahme getroffen: Die Varianzen und Mittelwerte der Reihen sind Konstanten, die unabhängig von der Zeit sind (d.h. die Prozesse sind stationär). Nicht-stationäre Zeitreihen (oder Einheitswurzelvariablen) erfüllen diese Annahme nicht, so dass die Ergebnisse eines Hypothesentests verzerrt oder irreführend sind. Diese Reihen müssen mit verschiedenen Methoden analysiert werden. Eine dieser Methoden wird Kointegration genannt.

Formaler ausgedrückt bedeutet Kointegration, dass zwei I(1)-Zeitreihen xt und yt durch den stationären Prozess
ut = yt – αxt beschrieben werden können.

Kointegrationstests

Kointegrationstests identifizieren stabile, langfristige Beziehungen zwischen Gruppen von Variablen. Rao (2007) merkt jedoch an, dass, wenn der Test eine solche Beziehung nicht findet, dies kein Beweis dafür ist, dass eine solche Beziehung nicht existiert – es deutet nur darauf hin, dass sie nicht existiert.

Drei der gängigsten Tests sind:

1. Engle-Granger
2. Phillips-Ouliaris
3. Johansen-Test

Engle-Granger

Die Engle-Granger-Methode konstruiert zunächst Residuen (Fehler) auf der Grundlage der statischen Regression.Die Residuen werden mit Hilfe von ADF oder einem ähnlichen Test auf das Vorhandensein von Einheitswurzeln geprüft. Wenn die Zeitreihe kointegriert ist, dann sind die Residuen praktisch stationär. Ein Hauptproblem der Engle-Granger-Methode besteht darin, dass die Wahl der abhängigen Variable zu unterschiedlichen Schlussfolgerungen führen kann (Armstrong, 2001), ein Problem, das durch neuere Tests wie den von Phillips-Ouliaris und Johansen korrigiert wird.

H0: Es liegt keine Kointegration vor
H1: Es liegt eine Kointegration vor

Dieser Test wird in der Regel mit Software wie MATLAB oder STAT (unter Verwendung des Befehls egranger) durchgeführt.

In R laden Sie den Code „adf.R“ herunter, den Sie hier auf der Website der University of Illinois finden. Einen Überblick über die Schritte finden Sie hier (scrollen Sie nach unten zu Cointegration: Engle-Granger Test); Sie benötigen diese Tabelle der kritischen Werte für den Engle-Granger Test.

Phillips-Ouliaris

Der Philips-Ouliaris (1990) ist ein residualbasierter Einheitswurzeltest. Er stellt eine Verbesserung gegenüber dem Engle-Ganger-Test dar; vor 1987 gingen Kointegrationstests von der Annahme aus, dass die Regressionsfehler unabhängig sind und eine gemeinsame Varianz aufweisen – was in der Realität selten der Fall ist (Chaovalitwongse et. al, 2010).

H0: Es liegt keine Kointegration vor
H1: Es liegt eine Kointegration vor

Der Philips-Ouliaris-Test berücksichtigt zusätzliche Variabilität (die sich aus der Tatsache ergibt, dass es sich bei den Residuen um Schätzungen und nicht um die tatsächlichen Parameterwerte handelt). Der Test ist auch invariant gegenüber der Normalisierung der Kointegrationsbeziehung (d.h. welche Variable als abhängige Variable gezählt wird).

Johansen-Test

Der Test von Johansen ist eine weitere Verbesserung gegenüber dem Engle-Granger-Test. Er vermeidet das Problem der Auswahl einer abhängigen Variable sowie die Probleme, die entstehen, wenn Fehler von einem Schritt zum nächsten übertragen werden. Als solcher kann der Test mehrere kointegrierende Vektoren aufdecken.

Armstrong, J. Principles of Forecasting: A Handbook for Researchers and Practitioners. Springer Science & Business Media
Chaovalitwongse, W. et. al (2010). Computational Neuroscience. Springer Science & Business Media.
Engle, R. F., and C. W. J. Granger. 1987. Co-integration and error correction: Representation, estimation, and testing. Econometrica 55: 251-276.
Granger, C.; Newbold, P. (1974). Spurious Regressions in Econometrics. Journal of Econometrics. 2 (2): 111-120. doi:10.1016/0304-4076(74)90034-7
P. C. B. Phillips und S. Ouliaris (1990): Asymptotic Properties of Residual Based Tests for Cointegration. Econometrica 58, 165-193.
Rao, B. (2007). Cointegration: for the Applied Economist, Springer.

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