Homomorphism

いくつかの種類の同型性には特定の名前があり、それは一般的な形態素についても定義されている。

IsomorphismEdit

同じ型の代数的構造間の同型性は、一般に双射的同型性として定義される。134 :28

カテゴリ理論のより一般的な文脈では、同型性は、同じく同型性である逆数を持つ形態素として定義されます。 より正確には、もし

f : A → B {displaystyle f:A} to B} ならば、 f : A → B {displaystyle f:A} to B} と定義され、この2つの定義は同等である。

が（homo）morphismの場合、homomorphism

g : B → A {displaystyle g:Bto A}が存在すれば逆が存在することになります。

such that

f ∘ g = Id B and g ∘ f = Id A . B} {text{and}} quad g=operatorname {Id _{A}.}

If A {displaystyle A}.

とB {displaystyle B} の組み合わせ。

が基底集合を持ち、f : A → B {displaystyle f:Ato B} が基底集合を持つ。

has an inverse g {displaystyle g}.

, then f { Filterdisplaystyle f} , then f { Filterdisplaystyle f}.

は両論併記である。 実際には、f {\displaystyle f} は

は、f ( x ) = f ( y ) {displaystyle f(x)=f(y)} として、射影される。

implies x = g ( f ( x ) ) = g ( f ( y ) ) = y {displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y} を意味します。

, and f {displaystyle f} …

は、任意の x {displaystyle x}

in B {displaystyle B} として、超射影的である。

とすると、x = f ( g ( x ) ) となる。 {displaystyle x=f(g(x))}

, x {displaystyle x}

is an element of A {displaystyle A} ……image of an A}.

.

逆に、f : A → B の場合 {displaystyle f:A} to B}.

が代数構造間のbijective homomorphismであるとき、g : B → A {displaystyle g:Bto A} とする。

be map such that g ( y ) {displaystyle g(y)} …です。

は A {displaystyle A} の一意な要素 x {displaystyle x}

であり、A {displaystyle A} はその一意な要素 x {displaystyle x} の一意な要素である。

such that f ( x ) = y {displaystyle f(x)=y} となる。

. また、f ∘ g = Id B, g ∘ f = Id A , {}displaystyle fếcirc g=참operatorname {Id} がある。 _{B}{text{ and }}gcirc f=¥operatorname {Id｝ _{A},}

であり、あとはgが同相であることを示すだけである。 もし、＊＊＊＊（＊＊＊＊）｛＊＊displaystyle＊＊｝が

が構造の二項演算で、すべてのペア x {displaystyle x}

, y {displaystyle y} について、次のようになる。

of elements of B {displaystyle B} (Bの要素)

とすると、g ( x ∗ B y ) = g ( f ( g ( x ) ) ) となる。 ∗ B f ( g ( y ) ) ) = g ( f ( g ( x )∗ A g ( y ) ) ) = g ( x ) A g ( y ) , {displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y))) =g(x)*_{A}g(y)).*=g(g(x)*_{B}f(x)).*_{A}f(y))}

そしてg {displaystyle g}

は、このように ∗ と互換性があります。 {と互換性がある。｝

任意のアリティで同様の証明となるため、g { {displaystyle g} は以下のようになる。

は同相である。

この証明は代数的でない構造には通用しない。 例えば位相空間では、モルヒズムは連続写像であり、双射連続写像の逆は必ずしも連続ではない。 位相空間の同型は、同相または双連続写像と呼ばれ、したがって、その逆も連続である双射影連続写像である。135

代数構造の内同型、またはカテゴリーのオブジェクトの内同型は、合成の下でモノイドを形成する。

ベクトル空間またはモジュールの内同型は、環を形成する。 有限次元のベクトル空間または自由モジュールの場合、基底の選択は内同型の環と同じ次元の正方行列の環との間に環同型を誘導する。135

代数構造の自動同型性、またはカテゴリーのオブジェクトの自動同型性は、合成の下でグループを形成し、それは構造の自動同型性群と呼ばれる

名前を持っているグループの多くは、いくつかの代数構造の自動同型性群です。 例えば、一般線形群GL n ( k ) {displaystyle \operatorname {GL}} がある。 _{n}(k)}

は次元数nのベクトル空間{displaystyle n}の自己同型群である。

over a field k {displaystyle k}.

.

Évariste Galoisによって多項式の根を研究するために導入され、Galois理論の基礎となっている。

MonomorphismEdit

代数構造では、単相性は一般に射影同相と定義される。:134 :29

より一般的なカテゴリー理論の文脈では、単相は左打ち消しできる形態素と定義される。 これは(homo)morphism f : A → B {displaystyle f:Ato B} という意味である。

is a monomorphism if, for any pair g {displaystyle g}.

, h {} h}.

は、任意の他のオブジェクトC {displaystyle C} からのモルヒズムの

to A {displaystyle A}.

, then f ∘ g = f ∘ h {displaystyle fcirc g=fcirc h} .

implies g = h {displaystyle g=h}.

。

単相のこれら2つの定義は、すべての一般的な代数的構造について等価である。 より正確には、すべての同型が単型である場と、操作と公理（恒等式）が何の制限もなく定義される代数構造である普遍代数の多様体に対して等価である（場は多様体ではない、乗法逆数は単項演算か乗法の性質として定義されており、どちらの場合も非零要素に対してのみ定義されているからである）。

特に、単相性の2つの定義は、集合、マグマ、半群、モノイド、群、環、場、ベクトル空間、モジュールについて等価である。

分割単相性は、左逆を持つ同相で、したがってそれ自体はその他の同相の右逆となる。 すなわち、同型性f : A → B {displaystyle fcolon Ato B} は、以下のようになる。

is split monomorphism if there exists a homomorphism g : B → A {displaystyle gcolon B}to A}.

such that g ∘ f = Id A . _{A}.}

分割単相関は、単相関のどちらの意味でも常に単相関である。 集合やベクトル空間では、すべての単相性は分割単相性であるが、この性質はほとんどの一般的な代数構造では成り立たない。

このとき、次のようになる。 {displaystyle f(g(x))=f(h(x))}

for every x {displaystyle x}

in C {displaystyle C} {displaystyle x} {516> for every x

, g {displaystyle g}の共通ソース。

と h {displaystyle h} があります。

. If f {displaystyle f} .

が射影的であれば、g ( x ) = h ( x ) {displaystyle g(x)=h(x)} となる。

, したがって g = h {displaystyle g=h} .

……………………….。 この証明は代数構造だけでなく、対象を集合、矢印を集合間の写像とするあらゆるカテゴリで有効である。 例えば、トポロジカル空間のカテゴリーでは、射影連続写像は単相関である。

逆に左打ち消し可能な同型写像が射影的であることを証明するには、free object on x {displaystyle x}

を考えることが有用である。 代数構造の多様性が与えられたとき、free object on x {displaystyle x}

は代数構造L {displaystyle L} からなる組である。

of this variety and an element x {displaystyle x}

of L {displaystyle L}, L of this variety.

は次の普遍的性質を満たす： for every structure S {displaystyle S} ・・・・・・・・・・・・・・。

of variety, and every element s {displaystyle s} of the variety, and every element s {displaystyle s} of the variety.

of S {displaystyle S}.

, 一意の同型性fが存在する。 L → S {displaystyle f:Lto S} が存在する。

such that f ( x ) = s {displaystyle f(x)=s}.

. 例えば、集合の場合、x上の自由オブジェクト{displaystyle x}

は単に{ x }となる。 {displaystyle \{x}}}

; semigroups, free object on x {displaystyle x}

is { x , x 2 , … , x n , … }. また、{displaystyle \{x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},}

は半群として正の整数の加法半群に同型であることが示されています。 モノイドの場合、x上のfree object {displaystyle x}

は{ 1 , x , x 2 , …. , x n , … }となる。

which isomorphic to a additive monoid of nonneggative integers; 群については、x {displaystyle x} 上の free object

は無限環状群 { …. , x – n , … , x – 1 , 1 , x , x 2 , … , x n , … }. , {displaystyle \{dldots ,x^{-n},\ldots ,x^{-1},1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\dots},}

これは群として整数の加法群に同型である。 環では、x上の自由体{displaystyle x}

}は多項式環Z ; {displaystyle \mathbb {Z} ;} である。

for vector spaces or modules, the free object on x {displaystyle x}

is the vector space or free module that have x {displaystyle x}

as an basis.

If a free object over x { ◇displaystyle x}

exists, then every left cancelable homomorphism is injective: let f : A → B ◇displaystyle f ◇colon A ◇to B} とする。

be left cancelable homomorphism, a {\displaystyle a}

and b {\displaystyle b}

be two elements of A {\displaystyle A}, A [2477}の2つの要素。

such f ( a ) = f ( b ) {displaystyle f(a)=f(b)} ←クリックすると拡大します。

。 自由オブジェクトFの定義により{displaystyle F} .

, 同型性 g {displaystyle g} が存在する。

と h {displaystyle h} がある。

from F {displaystyle F}.

to A {displaystyle A}.

such that g ( x ) = a {displaystyle g(x)=a}.

and h ( x ) = b {displaystyle h(x)=b}.

. f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) ) となる。 {displaystyle f(g(x))=f(h(x))}

, one has f ∘ g = f∘ h , {displaystyle fếtcirc g=fètscirc h,}

by a universal propertyの定義におけるuniqueness。 As f { {displaystyle f}.

は左側がキャンセル可能なので、g = h {displaystyle g=h} となる。

, したがって a = b {displaystyle a=b} となる。

……………………….。 したがって、f { {displaystyle f} 。

は射影である。

Existence of a free object on x {displaystyle x}

for a variety (Free object § Existence も参照のこと)。 Building a free object over x {displaystyle x}

, set W {displaystyle W} を考える。

はx {displaystyle x}

と構造の操作から作られる整形式の集合である。 このような2つの式は、公理（構造の恒等式）を適用することによって一方から他方へ渡すことができる場合、等価と言われる。 これは、恒等式が条件付でない場合、つまり、多様体を扱う場合、等価関係を定義する。 このとき、varietyの演算はW {displaystyle W}の同値類の集合でうまく定義される。

この関係に対して。 その結果得られるオブジェクトはW {displaystyle W} 上のfree objectであることを示すのは簡単である。

.

EpimorphismEdit

代数学では，epimorphismsはしばしばsurjective homomorphismsとして定義される:134:43 一方，カテゴリー理論ではepimorphismsはright cancelable morphismsとして定義される． つまり，(homo)morphism f : A → B {displaystyle f:Ato B} ということである．

is an epimorphism if, for any pair g {displaystyle g}.

, h {}

h}.

of morphisms from B {displaystyle B}.

to any other object C {displaystyle C}.

, 等式 g ∘ f = h ∘ f {displaystyle gcirc f=h\circ f｝

implies g = h {displaystyle g=h} 。

.

Surjective homomorphismは常に右打ち消し可能ですが、代数的構造ではその逆は必ずしも真ではありません。 しかし、集合、ベクトル空間、abelian群、モジュール(証明は後述)、群については2つのepimorphismの定義が等価である。 すべての数学、特に線形代数とホモロジー代数におけるこれらの構造の重要性は、2つの非等価な定義の共存を説明するかもしれません。

非投影変換が存在する代数的構造には、半群と環が含まれます。 最も基本的な例は整数の有理数への包含であり、これは環と乗法的半群の同型性である。 この例の一般化として、乗法的な集合による環の局在化がある。 すべての局在は環のエピモルフィズムであり、これは一般に、サージェクティブではない。 局在は可換環論や代数幾何学の基本であるため、これらの分野では一般に右打ち消し可能な同型性としてのエピモルフィズムの定義が好まれる理由を説明できるだろう。

分割エピモーフィズムとは、右逆数を持つ同型性で、それ自身がその他の同型性の左逆数である。 すなわち、同型性f : A → B {displaystyle fcolon Ato B} は、以下のようになる。

is split epimorphism if there exists a homomorphism g : B → A {displaystyle genta colon Bto A}.

such that f ∘ g = Id B . (注) {displaystyle fercirc g=operatorname {Id} . _{B}.}

分割エピモーフィズムは、エピモーフィズムの両方の意味において、常にエピモーフィズムである。 集合とベクトル空間については、すべてのエピモーフィズムは分割エピモーフィズムであるが、この性質はほとんどの一般的な代数的構造については成り立たない。

まとめると、

split epimorphism ⟹ epimorphism (surjective) ⟹ epimorphism (right cancelable) ; {displaystyle {split epimorphism}}implies {ext{epimorphism (surjective)}}implies {epimorphism (right cancelable)};} ということで、この二つの性質は同じである。

最後の含意は集合、ベクトル空間、モジュールとエーベリアン群に対する同値、最初の含意は集合とベクトル空間に対する同値である。