Homeomorphism

Topological space

トポロジーの最も基本的な構造概念の1つは、Xの部分集合Tのコレクションを指定することによって、集合Xをトポロジカル空間に変えることです。このようなコレクションは3つの公理を満たす必要があります。 (Tの中の集合は開集合と呼ばれ、TはX上のトポロジーと呼ばれる。 例えば、実数直線は、(-5, 2), (1/2, π), (0, √2の平方根), …のような開区間のすべての可能な結合の集合としてトポロジーを指定すると、トポロジカル空間になる。 (また、集合上のトポロジーの例は、純粋に集合論的なものである。 例えば、集合Xのすべての部分集合の集合をX上の離散トポロジーと呼び、空集合とX自身のみからなる集合はX上の無離散トポロジー、またはトリビアルトポロジーを形成する。ある位相空間は他の関連する位相空間を生じさせる。 例えば、トポロジカル空間Xの部分集合Aは、Aの開集合とXの開集合の交点をとるとき、Xから相対トポロジーと呼ばれるトポロジーを継承する。 さらに、トポロジカル空間の公理は一般的であるため、数学者は解析における関数の集まりなど、多くの種類の数学的構造をトポロジカル空間としてとらえ、それによって関連する現象を新しい方法で説明することができる。 位相幾何学的な考え方の初期の検討では、特にn次元ユークリッド空間のオブジェクトについて、無限数列の収束の検討で閉集合が自然に生じていた（無限級数を参照）。 トポロジーの公理を追加することは、トポロジー空間の重要なクラスでは成り立つが、すべてのトポロジー空間では成り立たない結果を確立するために、しばしば便利で有用である。 そのような公理の1つは、2つの異なる点が不連続な開集合に属することを要求するものである。 この公理を満たす位相空間はHausdorff空間と呼ばれるようになった

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