連続体仮説
連続体仮説、実数の集合（連続体）はある意味で限りなく小さいという集合論の声明。 1873年、ドイツの数学者カントールが、連続体が数えられないこと、すなわち実数は数え数よりも大きな無限大であることを証明し、集合論が数学の一分野としてスタートする上で重要な結果を得た。 さらにカントールは、無限集合の大きさを、その要素の数、すなわち基数によって分類する方法を開発した。 (集合論：基数・超限数参照）このような意味で、連続体仮説は次のように言える。
カントールの表記法では、連続体仮説は2ℵ0 = ℵ1という簡単な式で示される。ここでℵ0は無限可算集合（自然数の集合など）の基数であり、より大きな「よく順序付けられる集合」の基数はℵ1、ℵ2、…である。, ℵα, …が序数で示される。 連続体の基数は2ℵ0に等しいことが示される。したがって、連続体仮説は自然数と連続体の中間の大きさの集合の存在を排除している。 ポーランド人数学者シエルピスキは、GCHによって選択の公理を導くことができることを証明した
選択の公理と同様に、オーストリア生まれのアメリカ人数学者クルト・ゲーデルは、1939年に他の標準ツェルメロ・フレンケル公理（ZF；
表参照）が一致していれば、それらは連続体仮説やGCHさえ否定することはない、と証明した。 つまり、他の公理にGCHを加えても結果は矛盾しない。 そして1963年、アメリカの数学者ポール・コーエンは、やはりZFが矛盾しないという仮定のもと、ZFが連続体仮説の証明をもたらさないことを示し、その姿を完成させた。 Subscribe Now
ZFは連続体仮説を証明も反証もしていないので、集合とは何かという非公式な概念に基づいて連続体仮説を受け入れるかどうかという問題が残っているのです。 数学界の一般的な回答は否定的で、連続体仮説は制限を課す理由が知られていない文脈での制限的な発言である。 集合論において、冪集合演算は、基数ℵαの各集合に、基数2ℵαのすべての部分集合の集合を割り当てるものである。 無限集合が持つ部分集合の種類に制限を設ける理由はなさそうである
。
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