拡張ユークリッドアルゴリズム

拡張ユークリッドアルゴリズムとは、

ax+by=gcd(a,b)ax + by = \gcd(a,b)

aaaとbbbが与えられたときに、xxxとyyyという整数xを算出するアルゴリズムである。

このような整数の存在はBézoutのレンマで保証されている。

拡張ユークリッドアルゴリズムはモジュラーエクスポーネントの逆数と見ることができる。

ユークリッドアルゴリズムの手順を逆にすれば、これらの整数xxxとyyyを見つけることが可能である。 GCDから始めて、再帰的に逆算していくのが全体の考え方です。 これは，最初に求めた数値の線形結合である式が得られるまで，数値を変数として扱うことで実現できる．

私たちはGCDから始めます。

2=26-2×12.2 = 26 – 2 \times 12 .2=26-2×12 と書き直します。

121212は、先ほどの(38=1×26+12)(38=1×26+12)を12で置き換えて書きます：

2=26-2×(38-1×26).2=26 – 2 \times (38 – 1ờis 26). 2=26-2×(38-1×26).2=26-2×38.2=26-2×38.2=2.2×26-2×38.2=3.2×26-1×26. 2=3×26-2×38.

これを繰り返す：

2=3×(102-2×38)-2×38.2=3 \times (102 – 2times 38) – 2｜times 38.2=3×(102-2×38)-2×38.

最終結果が答えです：

2=3×102-8｜38.1 = 2｜2｜2｜times 38.2 = 3｜3｜2｜2｜times 38.2 = 2｜2｜times 38.2 = 2｜times 38.2 = 2｜2｜times 38.2 = 2｜times 38.22=3×102-8×38.2=3×102-8×38.

したがってxxxとyyyは333と-8-8-8.

Find two integers aaa and bbb such that 1914a+899b=gcd(1914,899).1914a + 899b = \gcd(1914,899).1914b+899b = 1914,899).1914a + 899b = 1914(1914,899).1914b+899b = 1914(1914,899). 1914a+899b=gcd(1914,899).

まずユークリッドのアルゴリズムでGCDを求めます：

1914=2×899+116899=7×116+87116=1×87+2987=3×29+0.GCD(1914,899).\begin{aligned}1914 &= 2times 899 + 116 \899 &= 7 \times 116 + 87 \116 &= 1 \times 87 + 29 \87 &= 3 \times 29 + 0.\⑭end{aligned}191489911687=2×899+116=7×116+87=1×87+29=3×29+0.

これより、最後の非零余り（GCD）は292929になります。

29=116+(-1)×8787=899+(-7)×116.\begin{aligned} 29 &= 116 + (-1)\times 87 &= 899 + (-7)\times 116.\end{aligned} 2987=116+(-1)×87=899+(-7)×116.The 4th Expanded algorithms: The 3rd Expanded algorithm for 2927, the largest Expanded algorithm for 2927, the largest Expanded algorithms for 2927, the largest Expanded algorithm for 2927,2927,2927,2927,2927,2927,2927,2927,2927,2927,2927,2927,2927,2927,2927, 2927,2927

1式の8787を代入すると

29=116+(-1)×(899+(-7)×116)=(-1)×899+8×116=(-1)×899+8×(1914+(-2)×899)=8×1914+(-17)×899=8×1914-17×899 となります。\(899+(-7)㏄116)㏄。 \&= (-1)\times 899 + 8times 116 \&= (-1)\times 899 + 8times ( 1914 + (-2)\times 899 )\&= 8times 1914 + (-17)\times 899 \&= 8tesimes 1914 – 17 \times 899.\end{aligned}29=116+(−1)×(899+(−7)×116)=(−1)×899+8×116=(−1)×899+8×(1914+(−2)×899)=8×1914+(−17)×899=8×1914−17×899.

ここでGCDを2つの整数の線形結合として書いたので、アルゴリズムを終了し、

a=8,b=-17と結論します。 □ a=8,b=-17となる。 \ ╱a=8,b=-17。 □