微分方程式 – 固有値と固有関数
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Section 8-2 : Eigenvalues and Eigenfunctions
前のセクションで行ったように、我々は境界値問題の固有値と固有関数のトピックについて簡単に見ていくだけだということに再度注意する必要があります。 ここでは取り上げない考え方もかなりあります。 このセクションの意図は、単にこのテーマのアイデアを与えることと、次の章でいくつかの基本的な偏微分方程式を解くことができるように十分な作業を行うことです。
さて、このセクションの実際のテーマについて話し始める前に、このノートで以前簡単に説明した線形代数のトピックを思い出しましょう。 ある正方行列(A)に対して、(A)の解が0でない値、つまり、(A)の解が0でない値、つまり、(A)の解が0である値、つまり、(A)の解が0である値、つまり、(B)の解が0である値を見つけるとすれば、(A)を固有値といい、その固有ベクトルを固有ベクシスとして扱いました。
ここで重要なのは、「♪♪♪（♪♪）が固有値であるためには、その方程式のゼロ以外の解を見つけることができなければならない」ということです。 前節に戻り、例題7と例題8を見てみましょう。 この2つの例題では、均一な（ここが重要！）BVP、
\
例題7では、BVPに自明ではない（つまり0ではない）解が見つかりました。 例題8では” \lambda = 3 “で、自明解(つまり” \left( t \right) = 0″)しか見つかりませんでした。 つまり、このhomogeneous BVP（境界条件が0であることも意味する）は、上の行列式の挙動と似たような挙動を示すと思われます。 このBVPには、自明でない解が得られる閾値と、自明な解しか認められない閾値が存在するのです。
そこで、自明でない解を与える♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪～の値をBVPの固有値と呼び、自明でない解を与えられた固有値に対応するBVPの固有関数と呼ぶことにする。
ここで、”arrange “で与えられた均質なBVPに対して、”arrange “は固有値（ith eigenfunctions \(y³³( x³³right) = {c_2}sin \left( {2x} ³)）、”arrange “は固有値でないことが分かります。
最終的には “next “の他に固有値があるかどうかを調べますが、その前になぜこの議論ではBVPが均質であることが重要なのかを簡単にコメントします。 前節の例題2と例題3では、均質微分方程式
\
を2種類の非均質境界条件
の形で解きましたが、この2つの例では、単に(a\) や (b\) の値を変化させると、自明ではない解や全く解が出ない状態を強制できることを確認しました。 固有値/固有関数の議論では、解が存在する必要があり、この振る舞いを保証する唯一の方法は、境界条件も一様であることを要求することである。 言い換えれば、BVPが均質である必要があります。
固有値と固有関数の話題に移る前に、最後に1つ議論しなければならない話題があり、これは私たちが行う必要のある作業のいくつかに役立つ表記上の問題のようなものです。
例えば2階微分方程式があり、その特性多項式が2つの実根を持ち、それらが
\
の形であるとします。この解は
\
ですが、この解を少し書き換えてみましょう。 まず項を次のように分割します。
\
次に、次の項を足したり引いたりします（新しい項では、”混合 “していることに注意してください）。
\
次に、項を少し並べ替えて、
\
最後に、括弧内の量を係数にして、分数の位置も移動させることにします。 このように、新しい定数の名前を変えたりして、
\
この作業はとても不思議で不必要に思えるかもしれません。 しかし、これには理由があるのです。 実は、その理由はもうお分かりかもしれません。 私たちの解にある2つの「新しい」関数は、実は双曲線関数のうちの2つなのです。 つまり、特性多項式が2つの実根を持つ2階微分方程式の解を別の形で書くと、({r_1} = \alpha ,\,{r_2} = – \alpha \) という形になるのですが、これから見る問題のいくつかは（実際にはほとんど）この形の解があると、生活がかなり楽になります。
まず、後で必要になるので、微分は,
次に、これらの関数のグラフを簡単に見てみましょう。
Note that \(cosh \left( 0 \right) = 1) and \(sinh \left( 0 \right) = 0ờe).
次に、もっと重要なことですが、すべての “all “の “閾値 “に対して “閾値 “は0なので、双曲線の余弦は決して0にはならないことに注意しましょう。 同様に、(x) = 0のときだけ、(x) = 0のときだけ、(x) = 0のときだけ、(x) = 0のときだけ、(x) = 0のときだけ、(x) = 0のときだけ。
さて、それではBVPの固有値・固有関数をどのように求めるか、例題を挙げてみましょう。 \ ୧⃛(๑⃙⃘◡̈︎๑⃙⃘) ここで作業を進めるにあたり、「ある特定の値に対してBVPの非自明解が得られたら、その値に対する固有値が得られる」ということを覚えておく必要があります。
すべての固有値を見つけたと知るためには、ただランダムに(not-trivial solutions or not-trivial solutions)の値を試し始めるわけには行きません。 幸いなことに、この方法はそれほど悪くなく、すべての固有値/固有関数を得ることができます。 しかし、いくつかのケースをこなさなければならない。 3つのケースを見る必要があります。 \(\lambda > 0ờng), \(\lambda = 0ờng), and \(\lambda < 0ờng). それぞれBVPの解が具体的になり、これに境界条件を適用して自明でない解が得られるかどうかを確認します。 では、さっそくケースを見てみましょう。
\(\underline {lambda > 0} \)
この場合、微分方程式から得られる特性多項式は次のようになります。
\
In this case since we know that \(\lambda > 0) these roots are complex and we can write them instead as,
\
The general solution to differential equation is then,
\
Applying the first boundary condition gives us us,
\
そこで、これを考慮して2番目の境界条件を適用すると,
\
つまり、次のいずれかが必要です,
\
ただし、自明ではない解が欲しいので、最初の可能性があれば、すべての閾値に対して自明解になります (\lambda > 0 jp),但し,この場合,,閾値に関係なく、,1番目の可能性があれば,,閾値になります。 よって、({c_2} \ne 0)と仮定しましょう。 つまり、正弦が0になる場所が分かっていることを利用して、2番目の方程式を導き出すことができます。 また、୧⃛(๑⃙⃘◡̈๑⃙⃘)୨⃛この場合、୧⃛(๑⃙⃘◡̈๑⃙⃘)୨⃛は正の整数にしかならないので、これを解けば、このBVPに対するすべての正の固有値が求まります。
すると、正の固有値は,
\
、その固有値に対応する固有関数は,
\
なお、固有値と固有関数にanをつけているのは、与えられたanの値に対してそれぞれ1つあることを表しているのであって、nが付くと固有関数もnが付くことになります。 また、固有関数に付いていたthe \({c_2}}
を削除したことに注意してください。 固有関数の場合は関数そのものにしか興味がなく、前にある定数には興味がないので、一般的にはこれを落とします。
それでは2番目のケースに移りましょう。
\(\underline { ∕lambda = 0} \)
In this case the BVP becomes,
\
and integrating the differential equation a couple of times gives us the general solution,
\
Applying the first boundary condition gives.この場合BVPは次のようになり、2回ほど微分方程式を積分すると一般解が得られます。
\
1番目の境界条件の結果と同様に2番目の境界条件を適用すると、
\
ここで、最初のケースと違って、これをどうゼロにするかは選べません。 This will only be zero if \({c_2} = 0).
したがって、このBVPでは（ここが重要なのですが）、もし \(\lambda = 0) があれば、唯一の解はつまらない解なので、 \(\lambda = 0) はこのBVPの固有値ではありえないのです。
次に最後のケースを見てみましょう。
That(\underline { ∕lambda < 0} )
この場合、特性方程式とその根は最初のケースと同じになります。 ということは、,
\
しかし、ここでは( \lambda < 0}) を仮定しているので、これらは今2つの実の異なる根であり、この種の実の異なる根に対する上記の作業を使用して、一般解は,
\
になることが分かります。ここで解を指数形式で使用できたが、ここで解を双曲形式で使用すれば作業がかなり簡単になることに注意しましょう。
さて、1つ目の境界条件を適用すると、
\
2つ目の境界条件を適用すると、次のようになります。
\
Because we are assuming \(2pi \sqrt { – \lambda } \ne 0) that know that \sinh \left( {2pi \sqrt { – \lambda } } \right) \ne 0}) and also know that \(2pi , – , – , – , ). だからこのBVPは(ここが重要)なので、”ne 0 “だとつまらない解しか出てこないので、負の固有値がないんです。
以上のことから、このBVPの固有値・固有関数は次のようになります。
それでは、境界条件を少し変えた別の例を見てみましょう。
\(\underline {lambda > 0} \)
微分方程式の一般解は前の例と同じなので、次のようになります。
\
最初の境界条件を適用すると、
\
ここで、 \(\lambda > 0) を仮定しているので、これは \({c_2} = 0} のときだけ0になることを思い出してください。 ここで、2つ目の境界条件から、
\
Recall that we don’t want trivial solutions and that \(\lambda > 0) so will only get non-trivial solution if we require that,
\
Solving for \(lambda \) and see we get exactly the positive eigenvalues for this BVP that we got in the previous example that I had…
⑯
ただし、この固有値に対応する固有関数は、
⑯
つまり、このBVPでは正の固有値に対応する固有関数に対して余弦が得られる。
次に、第2のケースである。
The general solution is,
Applying the first boundary condition gives,Using this the general solution is then,and note that this will trivially satisfy the second boundary condition.このようにすると、2番目の境界条件を満たします。 \
したがって、最初の例とは異なり、このBVPの固有値は,
\
この固有値に対応する固有関数は,
\
ここでも、固有関数の任意の定数を削除したことに注意してください。
最後に3つ目の場合を考えてみよう。
㊦(㊦㊦0})
ここでの一般解は、
㊦第1境界条件を適用すると、
第2境界条件を適用すると
\
先ほどの例と同様に、またもや \(2pi \sqrt { – \lambda } \ne 0) が分かっているので、 \(\sinh \left( {2pi \sqrt { – \lambda } } \right) \ne 0) が分かっています。
以上のことから、このBVPには負の固有値は存在しないことになります。 これは起こらないことが多いのですが、起こったときにそれを利用します。 つまり、このBVPの固有値/固有関数の「公式」リストは、,
\
So, the previous two examples were seen that generally need to consider different cases for \(n) as different values would often lead different general solutions. ここでやったケースにとらわれ過ぎないようにしましょう。 私たちはほとんどこの特定の微分方程式を解くことになるので、常にこれらのケースを想定したくなりますが、他の/異なるケースが必要な BVP もあります。
また、2 つの例で見たように、1 つ以上のケースが固有値を生成しないこともあります。 これはよくあることですが、この2つのBVPのどちらかに負の固有値がなかったという事実から何かを読み取るべきではありません。
別の例として、境界条件が非常に異なる例を見てみましょう。 これは今まで見てきたような伝統的な境界条件ではありませんが、次の章でこれらがどのようにある種の物理的問題から発生するかを見ていきます。
そこで、この例題では実際に解や境界での微分を指定するつもりはありません。 その代わり、解が2つの境界で同じであること、解の微分も2つの境界で同じであることを指定するだけです。
上述したように、この種の境界条件は特定の物理問題で非常に自然に発生するので、次の章でそれを見ていきます。
前の2つの例と同様に、まだ見るべき標準的な3つのケースがあります。
\(\underline {lambda > 0} \)
この場合の一般解は、
Applying the first boundary condition and using that cosine is an even function (i.e.),
Accounts for this case is.\(すなわち、cosは偶数関数であり(すなわち、 \cos \left( { – x} \right) = \cos \left( x \right)\)) 、sineは奇数関数である (すなわち、 \sin \left( { – x} \right) = – \sin \left( x CD4+))) ことから,
今回は、前の二つの例とは違って何もわからないのですが…このようになります。
では、2番目の境界条件を適用して、そこから何か得られるかどうか見てみましょう。 を仮定しているので、” \sin \left( {pi \sqrt \lambda } \right) = 0}” か “\({c_1} = 0}” のどちらかであることが分かります。
しかし、もし(˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵ )が0なら、({c_1} = {c_2} = 0)となり、つまらない解になってしまうことに注意しましょう。 したがって、”we need to require that \sin \left( {pi \sqrt \lambda } \right) = 0) and so just as we’ve done for the previous two examples now can get the eigenvalues,
\
Recalling that \(\lambda > 0) and we do see that I need to start of possible of \(n) s list at one instead to zero……これは、we必要とするのは、固有値のリストのうちゼロではなく1からであることが分かります。
さて、この場合の固有値はわかりましたが、固有関数はどうでしょうか。 ある固有値に対する解は
で、2つの定数のどちらかが0か0でないかの根拠はないんだ。 このような場合、それぞれの定数に対応する2組の固有関数が得られます。 この場合の2組の固有関数は、
\
さて、2番目のケースです。
Threshold(\underline { λ = 0} \)
The general solution is,
\
Applying the first boundary condition gives,
\
Using this the general solution is then,
\
and which will trivially satisfy the second boundary condition just as we saw in the second example above. したがって、このBVPの固有値は再び(˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵) で、この固有値に対応する固有関数は,
\
最後に3番目のケースを考えてみましょう。
Applying the first boundary condition and using the fact that hyperbolic cosine is even and hyperbolic sine is odd gives the general solution is,
\
Applying the first boundary condition and using the fact that hyperbolic cosine is even and hyperbolic sine is odd,
\
さて、この場合、 \(\lambda < 0) と仮定しているので、 \(\pi \sqrt { – \lambda } \ne 0) が分かり、その結果、 \(\sinh \left( {pi \sqrt { – \lambda } } \right) \ne 0) が分かるのですが、この場合、(D)は、(D)は、(D)は、(D)は( )を意味します。
Let’s apply the second boundary condition to get,
By the assumption on \(\lambda \) here again no choice without having \({c_1} = 0ờe).This is not only having the \ ({c_2} = 0ờe).Now now.
したがって、この場合解は些細な解しかないので、このBVPではやはり負の固有値はないことになります。
まとめると、このBVPの固有値・固有関数は以下のようになります。
\
なお、固有関数は2組あったことを、それぞれ別々に記載することで認めました。 また、最後の2つは再び1つの固有値と固有関数にまとめることができます。
今回も負の固有値がない例です。 これは我々が扱っている微分方程式の関数であり、負の固有値が得られる例もあることを強調してもしきれません。
さて、ここまでで1つの微分方程式しか使っていないので、この1つの微分方程式にとらわれすぎないように、別の微分方程式で例題を解いてみましょう。
これはオイラー微分方程式なので、次の2次式の根を求める必要があることがわかります。
この2次式の根は
さて、ここで再びいくつかのケースを扱いますが、前の例とは同じではありません。 解答は、根が実数明瞭か、倍数か、複素数かによって異なり、これらの場合はⒶの符号・値によって決まります。
Ⓐ(\underline {1 – \lambda < 0,\,\lambda > 1} )
この場合、根は複素数になるので、解を書き出すには以下のように書く必要があります。
⑭
このように根を書けば、⑭(\lambda – 1 > 0}) が実数になるので、次の解を書くのに必要な、
⑯
第1境界条件を適用すると、⑯ (\sqrt {lambda – 1}) が出てきます。
\
第二の境界条件は、
\
この場合の些細な解を避けるために、
\
この条件は今まで見たものよりずっと複雑ですが、それ以外は同じことをします。 ということで、この場合の固有値は次のようになります。
\
Note that the list of \(n)’s start at one and not zero to sure that we have \(\lambda > 1 à) as we are assumed for this case.
これらの固有値に対応する固有関数は、
\
さて、2番目の場合です。
In this case we get a double root of \({r_{1,2}} = – 1}) and so the solution is,
Applying the first boundary condition gives.この場合、解は次のようになります。
\
The second boundary condition gives,
\
We only have trivial solution for this case and so \(\lambda = 1ờng) is not an eigenvalue.
それでは、3つ目(最後)のケースを説明します。
この場合は実根が2つあり、解は
第1境界条件を適用すると,
これを利用すると解は次のようになる。
\
Applying second boundary condition gives,
\
Now, because we know that \(\lambda \ne 1) for this case, the exponents on two terms in the parenthesis are not the same and so the term in the parenthesis is not zero.Now, we know that \(\lambda \ne) for this case, therefore you are now. ということは、,1799> \
しかありえないので、この場合は三重解しかなく、( \lambda < 1)となる固有値は存在しないのです。
このBVPの固有値は最初のケースだけです。
さて、ここまでで「標準」以外の微分方程式を使った例題をやりましたね。 しかし、作業で見たように、基本的な流れはほとんど同じでした。 異なる解を与えるいくつかのケース（ここでは3つですが、常に3つとは限りません）があると判断しました。 それぞれのケースを調べて、非自明解が可能かどうかを判断し、可能ならそのケースに対応する固有値と固有関数を求めました。
このセクションを離れて新しい話題に移る前に、最後にもう一つ例を扱う必要があります。 ここまでの4つの例はすべてかなり簡単でしたが（もちろん簡単というのは相対的なものですが…）、多くの固有値/固有関数の問題はとても簡単だということを認めずに終わりたくありません。
多くの例では、BVPのすべての可能な固有値のリストを得ることさえ可能ではありません。 固有値を得るために解くべき方程式は、正確に解くことが不可能でないにしても、難しいことがよくあります。
このBVPの境界条件は、これまで扱ったものとかなり異なっている。 しかし、基本的な流れは同じです。 では、まず最初のケースから。
\(\lambda > 0} \)
微分方程式の一般解は最初の数例と同じなので、
\
第1境界条件を適用すると,
第2境界条件では、次のとおりとなります。
\
それで、もし \({c_2} = 0}) とすると、つまらない解が得られるので、この境界条件を満たすために、代わりに
\
を要求する必要がある。さて、この方程式には解があるが、それを得るためには、いくつかの数値的手法を使う必要がある。 ここで何が起こっているのかを見るために、同じグラフ上に(Ⓐ)と(Ⓑ)を描いてみましょう。
つまり、この場合の固有値は、2つの曲線が交差するところに発生することになります。 ここで注目すべきは、グラフの外側に行くほど固有値が接線の漸近に近づくということです。
近似式を使い始める前に、どの程度の大きさの閾値が必要かは、どの程度の精度が必要かによりますが、漸近線の位置が分かっているので、閾値を大きくすれば、近似式の精度も上がるので、所定の精度を確認するのは十分に簡単です。
この例では、最初の5つは数値で求めて、残りの固有値は近似式を使うことにしましょう。 以下はそれらの値/近似値です。
\
最初の5つの後の括弧内の数値は漸近線の近似値です。 見ての通り少しずれていますが、閾値(n=5)までの近似値の誤差は0.9862%です。
この場合の固有関数は、
ここで({}lambda _{},n}}の値は上で与えられたものです。
さて、すべての作業が終わったところで、2番目のケースを見てみましょう。
The general solution is,
Applying the first boundary condition gives,Using this the general solution is then.この場合、一般解は次のようになります。 \
Applying second boundary condition to this gives,
\
forest for this case we get only trivial solution and so \(\lambda = 0) is not an eigenvalue.したがって、この場合、些細な解しか得られないので、閾値は0である。 しかし、もし2つ目の境界条件が” \(y’\left( 1 \right) – yâteleft( 1 \right) = 0) “だったら、” \lambda = 0 “が固有値（固有関数” \(yâteleft( x \right) = xxx”）になっていたので、ここでまた読みすぎに注意が必要でした。
㊦(㊦㊦0})
ここで一般解は,
㊦
最初の境界条件を適用すると,
㊦
これを使用すると一般解は次のようになります。
\
これに第2境界条件を加えると、
\
ここで、仮定として、♪ \(\lambda < 0), and so \(\sqrt { – \lambda } > 0}) が分かっています。 したがって、
\
and so must have \({c_2} = 0}) and again in this third case we get the trivial solution and so this BVP will have no negative eigenvalues.また、このBVPは負の固有値を持たないでしょう。
まとめると、このBVPの唯一の固有値は、” \lambda > 0ờng” と仮定して、上で与えられたものです。
さて、このセクションでは、いくつかの固有値/固有関数の例を扱いました。 このセクションを去る前に、ここで扱うことができる問題は非常に多様であり、本当にほんの一握りの例しか示していないので、このセクションから立ち去るときに、すべてを示したと信じないように注意してください。 また、次の章では、偏微分方程式を解くより一般的な方法の1つを説明するために、再びかなり基本的で簡単な問題に絞ることになります。
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