微分幾何学

微分幾何学は、曲線、曲面、および多様体（曲面の高次元の類似体）の幾何学を研究する数学の一分野である。 この学問は微分積分学のアイデアと技術を使用することからその名前がついたが、現代の科目では代わりに代数学と純粋に幾何学的な技術を使用することが多い。 基本的な定義、表記法、解析的な記述は様々であるが、以下のような幾何学的な問いが一般的である。 曲面内の曲率（固有曲率）と空間内の曲率（外接曲率）はどのように測定するのか？ 曲面の曲率はどのようにして測定するのか？ 曲面上の2点間の曲面内の最短経路は何ですか？

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曲線は古代から研究されていましたが、17 世紀に微積分が発見されると、フランスの数学者ルネ・デカルト (1596-1650) が「コンパス」（幾何学の歴史：デカルトの幾何学参照）で作ったようなより複雑な平面曲線の研究ができるようになりました。 特に、積分法は、平面曲線の弧の長さや平面図形の面積を求めるという古くからある問題を一般的に解決することにつながった。 351] 微分幾何学の基本的な考え方のいくつかは、煙突のような大きな金属円筒を構造的に支えるために技術者がよく設計する螺旋状の帯であるストレースで説明することができる。 平らな鋼板から環状の帯（2つの同心円の間の領域）を切り出し、図のように円筒の周りを螺旋状に曲げることでストレーキを形成することができる。 このとき、環状片の半径rはどの程度にすればよいのだろうか。 微分幾何学は、曲線の曲率の正確な測定値を定義することにより、この問題の解決策を提供します。

重要な問題が残っています。 環状の帯は、伸びることなく、円筒の周りに斜材を形成するように曲げることができるのでしょうか。 特に、これは表面に沿って測定された距離(intrinsic)が変化しないことを意味する。 2つの面のうち、一方を他方に曲げて（変形して）、固有距離を変えないことができれば、等角性と呼ばれる。 (例えば、一枚の紙を丸めると、伸びることなく筒になるので、紙と筒は「局所的に」等尺性である。ただし、紙の両端を結ぶと、新しい、そして、より短い経路ができるので、局所的にである) そこで、第二の疑問が生じる。 環状ストリップとストレークは等尺性であるか？ この疑問や類似の疑問に答えるため、微分幾何学は表面の曲率の概念を開発しました。

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