共和分: 定義、例、テスト

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最初にこの記事を読むとよいでしょう。 統合の次数とは何ですか？

統合検定は、非定常時系列-時間と共に変化する分散と平均を持つプロセス-を分析します。 つまり、単位根変数を持つシステムの長期的なパラメータや均衡を推定することができる方法です（Rao, 2007）。

2つの変数のセットは、それらの変数の線形結合が低次の積分を持つ場合、共積分される。 例えば、I(1)の変数のセットが、I(0)の線形結合でモデル化できる場合、共和分が存在することになる。 ここでの積分次数I(1)は、1組の差分で非定常変数を定常性に変換できることを意味する。 グラフを見ればI(1)プロセスかどうかわかることもありますが、KPSSテストやAugmented Dickey-Fullerテストなどのテストを実行する必要があるかもしれません。

背景

通常の最小二乗法のような古典的な方法で時系列を分析するためには、ある仮定がなされます。 時系列の分散と平均は時間に依存しない定数である（すなわち、プロセスは定常である）。 非定常時系列（または単位根変数）はこの仮定を満たさないので、仮説検定の結果は偏ったり、誤解を招いたりします。 このような系列は、別の方法で分析する必要があります。 より正式には、2つのI(1)時系列xtとytが、定常過程
ut = yt – αxtによって記述できる場合が、共和分と呼ばれる方法です。 しかし、Rao（2007）は、テストがそのような関係を見つけられない場合、それは関係が存在しないことの証拠ではなく、関係が存在しないことを示唆しているだけであると指摘しています。

最も人気のある3つのテストは次のとおりである：

1. Engle-Granger
2. Phillips-Ouliaris
3. Johansen test

Engle-Granger

まず Engle-Granger 法が静的回帰に基づいて残差を構築する。残差は，ADF または類似の検定を用いて単位根の存在について検定される． 時系列が共分散している場合、残差は実質的に定常となる。 Engle-Granger法の主な問題は、従属変数の選択が異なる結論を導く可能性があることであり（Armstrong, 2001）、この問題はPhillips-OuliarisやJohansenのような最近のテストによって修正されています。

H0：共和分なし
H1：共和分あり

この検定は、通常MATLABやSTATなどのソフトウェア（egrangerコマンドを使用）で実行します。

Rでは、イリノイ大学のウェブサイトのここにある「adf.R」コードをダウンロードしてください。 手順の概要はこちら(Cointegration: Engle-Granger Testまでスクロールダウン); Engle-Granger testの臨界値の表が必要です。

Phillips-Ouliaris

Philips-Ouliaris (1990) is a residual-based unit root test. 1987年以前の共和分検定は、回帰誤差が独立で共通分散であるという仮定で行われていたが、現実にはほとんど当てはまらない (Chaovalitwongse et. al, 2010)。

H0：共和分なし
H1：共和分あり

フィリップス・オリアリス検定は，（残差が実際のパラメータ値ではなく推定であるという事実から生じる）補足変動を考慮に入れる。 またこの検定は、共和分関係の正規化（つまりどの変数を従属変数としてカウントするか）に対して不変である。

Johansen test

Johansen’s test is another improvement over the Engle-Granger test. これは従属変数の選択の問題や、誤差が1つのステップから次のステップに持ち越されるときに生じる問題を回避することができる。 そのため、このテストは、複数の共分散ベクトルを検出することができます。 研究者と実務家のためのハンドブック. Springer Science & Business Media
Chaovalitwongse, W. et.al (2010). 計算論的神経科学. シュプリンガーサイエンス & ビジネスメディア
Engle, R. F., and C. W. J. Granger. 1987. 共統合と誤り訂正。 としている。 Econometrica 55: 251-276.
Granger、C.; Newbold、P. (1974). 計量経済学におけるスプリアス・レグレッション. ジャーナル・オブ・エコノメトリックス． 2 (2): 111-120. doi:10.1016/0304-4076(74)90034-7
P. C. B. Phillips and S. Ouliaris (1990): 但し、”asymptotic Properties of Residual Based Tests for Cointegration “とある。 Econometrica 58, 165-193.
Rao, B. (2007). Cointegration: for the Applied Economist, Springer.

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