ホモトピー理論

空間と写像編集

ホモトピー理論や代数的位相幾何学において、「空間」という言葉は位相空間を意味する。

上記と同じように、「写像」は連続関数であり、場合によってはいくつかの特別な制約がある。 つまり、領域の基点を共領域の基点に送るということである。

HomotopyEdit

Iを単位区間とする。 Iを指標とする写像の族、h t : X → Y {displaystyle h_{t}:X}to Y} がある。

はh 0 {displaystyle h_{0}} からのホモトピーと呼ばれます。

から h 1 {displaystyle h_{1}} に変更する。

if h : I × X → Y , ( t , x ) ↦ h t ( x ) {displaystyle h:Itimes Xttp Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)} } ｛Itimes Xttp Y,(t,x)．

is a map (e.g. must be a continuous function.). X, Yが尖頭空間であるとき、h t {displaystyle h_{t}} は

は基点を保存することが要求される。 ホモトピーは同値関係であることを示すことができる。 Given a pointed space X and an integer n ≥ 1 {displaystyle ngeq 1}.

, π n ( X ) = ∗ {displaystyle \pi _{n}(X)=_{*}} とすると、π n ( X ) = ∗ {displaystyle \pi _{n}(X)=_{*}} とする。

be homotopy classes of based maps S n → X {displaystyle S^{n}to X}

from a (pointed) n-sphere S n {displaystyle S^{n}}, X }, S {displaystyle S^{net}}、X {displaystyle S^{net}}、X{net}

to X. 結果として、π n ( X ) {displaystyle \pi _{n}(X)} が得られる。

は群であり、特に、π 1 ( X ) {displaystyle \pi _{1}(X)}} は群である。

はXの基本群と呼ばれる。

もし尖った空間の代わりに空間を扱うのが好きなら、基本群体（およびより高い変形）の概念がある：定義により、空間Xの基本群体は、オブジェクトがXの点であり形態素が経路のカテゴリである。

Cofibration and fibrationEdit

A map f : A → X {displaystyle f:A\to X}

is called a cofibration if given (1) a map h 0 : X → Z { {displaystyle h_{0}:X}to Z}} が与えられた場合、コフィブレーションと呼ばれる。

and (2) homotopy g t : A → Z {displaystyle g_{t}:Aentato Z}

, there exists homotopy h t : X → Z {displaystyle h_{t}:Xto Z} …

that extends h 0 {displaystyle h_{0}}}.

and such that h t ∘ f = g t {displaystyle h_{t}circ f=g_{t}}}.

。 これは、抽象代数における射影モジュールの定義図と同じようなもので、緩やかな意味である。 最も基本的な例は、CW pair ( X , A ) {displaystyle (X,A)} である。

;多くの人はCW complexesだけを扱うので、cofibrationの概念はしばしば暗黙的なものである。

Serre の意味での fibration は cofibration の双対概念であり、すなわち写像 p : X → B {displaystyle p:Xto B} というマップである。

が与えられたとき、（1）マップZ → X {displaystyle Z}

と （2）a homotopy g t : Z → B {displaystyle g_{t}:Zto B} は a fibration であるとする。

, there exists homotopy h t : Z → X {displaystyle h_{t}:Zto X}

such that h 0 {displaystyle h_{0}}} …ある。

は与えられたもので、p ∘ h t = g t {displaystyle pcirc h_{t}=g_{t}}} は

のようになります。 基本的な例は被覆写像である（実際、fibrationは被覆写像の一般化である）。 もしE { {displaystyle E} が

が主Gバンドル、つまり自由で推移的な（位相的）群作用のある空間であれば、射影写像p : E → X {displaystyle p:Eto X}

はfibrationの一例である。

Classifying spaces and homotopy operationsEdit

Given a topological group G, the classifying space for principal G-bundles (“the” up to equivalence) is a space B G {displaystyle BG}.

such that, for each space X, = {displaystyle =} {displaystyle=}。

{ principal G-bundle on X }. / ~ , ↦ f ∗ E G {displaystyle ,\mapsto f^{*}EG} {displaystyle ,{displaystyle ,{displaystyle,{displaystyle}mapsto f^{*}EG}}}.

ここで

• 左辺はマップX → B G {displaystyle X\ to BG}のホモトピークラスのセットであり、左辺はマップXのホモトピークラスのセットである。
  

  ,

• 〜は束の同型性を指し、
• =は区別束E G {displaystyle EG}をプルバックすることで与えられる。
  

  on B G {displaystyle BG}

  

  (universal bundleと呼ぶ) に沿って、写像X → B G {displaystyle Xto BG}

  

  .

ブラウンの表現可能性定理は分類空間の存在を保証する。

Spectrum and generalized cohomologyEdit

分類空間が主束を分類するという考え方は、さらに推し進めることができる。 例えば、コホモロジークラスを分類しようとするかもしれない： abelian group A (such as Z {displaystyle \mathbb {Z}) が与えられると、コホモロジークラスを分類する。 }

), = H n ( X ; A ) {displaystyle =operatorname {H}. ^{n}(X;A)}。

where K ( A , n ) {displaystyle K(A,n)} }.

はアイレンベルグマクレーン空間である。 上の式は一般化されたコホモロジー理論の概念につながる。すなわち、空間のカテゴリーからエーベル群のカテゴリーへのcontravariant functorで、普通のコホモロジー理論を一般化した公理を満たすものである。 このようなファンクタは、空間では表現できないかもしれないが、スペクトルと呼ばれる構造写像を持つ（尖った）空間の列では常に表現できることが分かっている。 つまり、一般化されたコホモロジー理論を与えることは、スペクトルを与えることなのです。

スペクトルの基本的な例として、球のスペクトルがあります。 S 0 → S 1 → S 2 → ⋯ {displaystyle S^{0}to S^{1}}}to S^{2}}to \cdots }.