ヒルベルト空間

ヒルベルト空間とは、数学において、解析学や位相幾何学に大きな影響を与えた無限次元空間の一例である。 ドイツの数学者デイヴィッド・ヒルベルトが、1902年から12年の間に注目した積分方程式とフーリエ級数の研究で、この空間を初めて記述した。

ヒルベルト空間の点は、平方和可能な実数の無限列（x1、x2、x3、…）、すなわち無限列x12 + x22 + x32 + …が何らかの有限数に収束するものである。 ヒルベルト空間は、n次元ユークリッド空間と同様に、自然内積（ドットプロダクト）を持つベクトル空間であり、距離関数を提供する。 この距離関数のもとで完全計量空間となり、数学者が完全内積空間と呼ぶものの一例となる。

ヒルベルトの研究のすぐ後、オーストリア・ドイツの数学者エルンスト・フィッシャーとハンガリーの数学者フリゲス・リーシュが、平方可積分関数（その絶対値の二乗の積分が有限である関数）もヒルベルト空間に相当する完全内積空間内の「点」として考えることができることを証明した。 このような背景から、ヒルベルト空間は量子力学の発展に一役買い、応用数学、数理物理学の分野でも重要な数学的手段となっている。 この空間は、ハンガリー系アメリカ人の数学者ジョン・フォン・ノイマンが 1929 年に抽象的な公理的方法でこれらの空間を記述するために初めて使用した呼称で、現在ではヒルベルト空間と呼ばれています。 また、ヒルベルト空間は位相幾何学の豊かなアイデアの源でもある。 ヒルベルト空間は計量空間として無限次元の線形位相空間とみなすことができ、その位相的性質に関する重要な問題が20世紀前半に提起された。 このようなヒルベルト空間の性質に触発され、1960年代から70年代にかけて、無限次元トポロジーという新しいトポロジーのサブフィールドが確立されたのです。 今すぐ購読