バリセントリック座標

セバの定理の話の最後に、ΔABC内部の任意の点Kに対して、三角形の対応する頂点に置くと、その重心（バリセンター）が点Kに一致するような三つの質量wA、wB、wCが存在するという結論に達しました。 アウグスト・フェルディナンド・メビウス（1790-1868）は、wA、wB、wCをKの重心座標と定義した（1827）（一般化して、三角形の外側の点に対する負の質量も考えることが可能である）。 これは私の目的には必要ない)。 定義された通り、バリセントリック座標は一意ではない。 質量 kwA, kwB, kwC はどんな k > 0 でも全く同じ重心を持ちます。このようにバリセントリック座標は数学の多くの分野で（そしてコンピュータグラフィックスでも）使われる一般的な同次座標の一形態です。 8543>

の条件を加えると、三角形の中のすべての点に対して一意にバリセントリック座標が定義されることになる。 (ΔABCの面積を1とすると、重みwは三角形KBC、KAC、KABの面積に等しいので、(*)を満たすバリセントリック座標は面座標と呼ばれる)。 任意の2点の重心は接続線上にあるので、BC上の点はwA=0、AC上の点はwB=0、AB上の点はwC=0となる。 頂点 A,B,C はそれぞれ座標 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) となる。

与えられた質量を持つ3点（このような点を材料と呼ぶ）の重心を定める通常の方法は、まず任意の2点の質量和をその重心に置くことである。 次に、新しい点と残りの3点を対にして、同じ（1次元）操作を繰り返す。 (この議論は、アフィン幾何学で定式化されている。 私は直感的に理解できるようにしたい。） (*)を仮定すると、wAを固定すれば、wB＋wCの和も固定されることになる。 したがって、KK’はBCに平行である。 つまり、wA = const という式は、BCに平行な直線を記述しているのである。 すでに述べたように、BCの方程式はwA＝0です。wBとAC、wCとABの間にも同様の関係があります。

MbとMcをそれぞれACとABの中点とすると、MbMcの方程式はwA＝1/2となります。 同様に、MaMc＝｛（wA，wB，wC）：wB＝1/2｝、MaMb＝｛（wA，wB，wC）：wC＝1/2｝です。

右の図を見てみましょう。 青い三角形では、3つの座標がすべて1/2より小さくなっています。 したがって、2進数表現の1桁目は0である。 赤い三角形では、2つの座標が1/4より小さく、3つ目の座標は1/2と3/4の間にあります。 したがって、赤い三角形では、3つの座標の2進数の2桁目がすべて0である。 これはシェルピンスキー・ガスケットを構成するトレマ除去の手順につながり、バリセントリック座標での記述の手がかりとなる。

バリセントリック座標は可変量が一定の和を持つときに自然に発生する。 スリーグラス問題とは、あるグラスから別のグラスに水を注ぐとき、その過程で水滴がこぼれないという非現実的な仮定をする問題で、その顕著な例である。 この問題は、バリセントリック座標の概念を見事に表現している。

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