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ゲージ対称性（数学）

この記事は一般的な参考文献のリストを含んでいますが、対応するインライン引用が十分にないため、ほとんど検証されていないままです。 より正確な引用を紹介することで、この記事の改善にご協力ください。 (2009年10月) (このテンプレートメッセージを削除する方法とタイミングを学ぶ)

数学では、どんなラグランジュシステムも一般にゲージ対称性を認めますが、それが些細なことだということもありえます。 理論物理学では、パラメータ関数に依存するゲージ対称性の概念は、現代の場の理論の基礎となるものである。

A gauge symmetry of a Lagrangian L {displaystyle L} {displaystyle L} {displaystyle L} {displaystyle L} {displaystyle L}のゲージ対称性。 L は、あるベクトル束E{displaystyle E}上の微分演算子として定義される。 E taking its values in linear space of (variational or exact) symmetries of L {displaystyle L}の値をとる。 L. したがって、L {displaystyle L} のゲージ対称性は Ldepends on sections of E {displaystyle E}. E とその偏微分。 例えば、古典場の理論におけるゲージ対称の場合である。 Yang-Millsゲージ理論やゲージ重力理論はゲージ対称性を持つ古典場の理論の例です。

ゲージ対称性は次の二つの特殊性を持っています。

  1. ラグランジュ対称であるため、ラグランジュのゲージ対称性は第一のネーターの定理を満たすが、対応する保存電流J μ {displaystyle J^{pathy }}は、第一のネーターの定理は満たす。 J^{mu } は特定の超潜在形式 J μ = W + d ν U μ } {displaystyle J^{mu }+d_{nu }U^{nu \mu }} を取ります。 {Threshold J^{mu }=W^{Mu }+d_{Mnu }U^{Mnu \mu }}ここで、第一項W μ {Threshold W^{Mu }}は、以下の通り。 W^{mu } はEuler-Lagrange方程式の解で消失し、2つ目は境界項で、U ν μ\ {displaystyle U^{nu \mu }}となる。 U^{{nu \mu }} は超ポテンシャルと呼ばれます。
  2. ノイザーの第二定理により、ラグランジアンのゲージ対称性とオイラー・ラグランジュ演算子が満たすノイター恒等式は一対一対応である。 その結果、ゲージ対称性はラグランジアン系の縮退を特徴づける。

なお、量子場の理論では、生成汎関数がゲージ変換に対して不変でない場合、ゲージ対称性はBRST対称性に置き換えられ、ゴーストに依存し、場とゴーストの両方に作用する。

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