ガロア理論
前史編集
ガロア理論は対称関数の研究に端を発している-モニック多項式の係数は（符号まで）根の初等対称多項式となる-。 例えば、(x – a)(x – b) = x2 – (a + b)x + ab、ここで1、a + b、abは2変数の0、1、2の初等多項式である。
これは16世紀のフランスの数学者フランソワ・ヴィエットによって、ヴィエットの公式で、正の実根の場合に初めて公式にされたものである。 18世紀のイギリスの数学者チャールズ・ハットンの意見では、根による多項式の係数の表現は（正の根の場合だけでなく）17世紀のフランスの数学者アルベール・ジラールによって初めて理解された。ハットンは次のように書いている：
… 根とそれらの積の和から累乗の係数を形成するという一般論を最初に理解した人物であった。 9698>
このような経緯から、判別式は根の性質を反映した根における対称関数であり、多項式が重根を持つ場合にのみ0となり、二次および三次多項式ではすべての根が実数で明確である場合にのみ正、異なる複素共役根の対がある場合にのみ負である。
3次方程式は15-16世紀のイタリアの数学者Scipione del Ferroによって初めて部分的に解かれたが、彼はその結果を発表しなかった。 この解法は、1535年にニコロ・フォンタナ・タルターリアが独自に再発見し、ジェロラモ・カルダーノに伝えたが、発表しないようにと頼まれた。 カルダノは、同様の論法でこれを他の多くのケースに拡張した。詳細はカルダノの方法を参照。 デル・フェーロの研究を発見したカルダーノは、タルタルリアの方法はもはや秘密ではないと考え、1545年の『アルス・マグナ』で自分の解法を発表した。 弟子のロドヴィコ・フェラーリも四元多項式を解き、その解答を『アルス・マグナ』に収録した。 しかし、この本でカルダノは、3次方程式の解の「一般式」を示していない。なぜなら、彼は自由に使える複素数も、一般的な3次方程式を記述できるような代数的表記法も持っていなかったからである。 現代の表記法と複素数の恩恵により、本書の公式は一般的な場合にも通用するが、カルダーノはこのことを知らなかった。 ラファエル・ボンベリは、すべての形式の3次方程式を解くために、複素数の扱い方を理解することができたのである。
さらに進んだのは、フランス・イタリアの数学者ジョセフ・ルイ・ラグランジュによる1770年の論文Réflexions sur la résolution algébrique des équationsで、彼はラグランジュ解法で、3次・4次方程式のカルダノとフェラーリの解を根の順列で考えて解析し、低次の補助多項式を得て解法の統一理解をもたらし、群論とガロア理論の基礎を築いたのであった。 しかし、肝心の並べ換えの合成は考えていない。
5次方程式は、1799年にパオロ・ルッフィーニによってラジカルによる一般解がないことがほぼ証明されたが、彼の重要な洞察は単一の順列ではなく、順列群を用いることであった。 彼の解にはギャップがあり、Cauchy はこれを軽微なものと考えたが、ノルウェーの数学者 Niels Henrik Abel が1824年に証明を発表し、Abel-Ruffini 定理を確立するまで修復されることはなかった。
ルッフィーニとアーベルは一般的な5進法が解けないことを証明したが、x5 – 1 = 0のような特定の5進法は解くことができ、与えられた5進法以上の多項式が解けるかどうかを決定する正確な基準はエバリスト・ガロアによって示された。 は、ある多項式が解けるかどうかは、その根の並べ換え群、現代風に言えばガロア群がある構造を持っているかどうか、現代風に言えば解ける群かどうか、と等価であることを示した。 この群は次数4以下の多項式では常に解けるが、次数5以上の多項式では必ずしもそうではなく、高次での一般解が存在しないことの説明となる。
Galois’s writingsEdit
1830年にGalois (at the age 18) はパリ科学アカデミーに彼のラジカルによる求積理論について覚書を提出しました。 ガロアの論文は最終的に1831年に、あまりにも大雑把で、係数の代わりに方程式の根で条件を与えているとして却下された。 その後、ガロアは1832年に決闘で亡くなり、彼の論文「Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux」は、1846年にジョセフ・リウヴィルが彼自身の解説を加えて出版するまで未発表のままであった。 この出版に先立ち、リュービルは1843年7月4日に行った講演で、ガロアの結果をアカデミーに発表しています。 アラン・クラークによれば、ガロアの特徴は「アベルとルフィーニの仕事に劇的に取って代わった」
AftermathEdit
ガロアの理論は同時代の人々にとって、特にそれを拡張できるレベルまで理解することが難しいことで有名であった。 例えば、リューヴィルは1846年の解説で、ガロアの手法の群論的な核心を完全に見落としている。 リウヴィルの講演に何度か出席したジョセフ・セレは、1866年（第3版）の教科書「Cours d’algèbre supérieure」にガロアの理論を盛り込みました。 セレーの弟子のカミーユ・ジョルダンは、1870年に出版した『置換と方程式』（Traité des substitutions et des équations algébriques）で、さらに理解を深めた。 フランス国外では、ガロアの理論は、より長い間、不明瞭なままでした。 英国では、ケイリーがその深さを理解できず、英国の一般的な代数学の教科書は、世紀末になるまでガロアの理論に触れることさえなかった。 ドイツでは、Kroneckerの著作はAbelの結果に重点を置いていた。 デデキントはガロアの理論についてほとんど書いていないが、1858年にゲッティンゲンで講義をしており、非常によく理解していることがわかる。 1880年代のEugen Nettoの著書は、JordanのTraitéに基づいており、Heinrich Martin Weberの1895年の代数学の教科書と同様に、Galois理論をより多くのドイツやアメリカの読者に理解してもらうことができた
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