ガウス曲面

有効（左）、無効（右）のガウス面の例です。 左：有効なガウス面には、球の表面、トーラスの表面、立方体の表面などがある。 これらは、3次元体積を完全に囲む閉曲面である。 右図 円盤面、正方形面、半球面など、ガウス曲面として使用できない曲面があります。 これらは、3次元体積を完全に囲むことができず、境界（赤色）を持っている。

ガウス曲面を用いた計算の多くは、まずガウスの法則（電気に関するもの）を実装します。

S { {displaystyle \scriptstyle S!} } }.

E ⋅ d A = Q enc ε 0 . {displaystyle \mathbf {E} \♪♪♪～ \mathbf {A} ={frac {Q_{text{enc}}}{varepsilon _{0}}}.\,\!} }.

ここでQencはガウス面に囲まれた電荷です。

これは発散定理とクーロンの法則の両方を組み合わせた、ガウスの法則と言えます。

球面編集部

球面ガウス面は、以下のいずれかによって生じる電場や磁束を求めるときに使用されます。

• 点電荷
• 均一に分布した球状の電荷シェル
• 球面対称の他の電荷分布

球面ガウス面は、電荷分布と同心であるように選択されます。

例として、一様に分布した電荷Qと半径Rを持つ、無視できる厚さの帯電した球殻Sを考えます。 半径r < Rの球形のガウス面では、囲まれた電荷は0であることはすぐに明らかです：したがって、純フラックスは0であり、ガウス面の電界の大きさも0です（ガウスの法則でQA = 0とすると、QAはガウス面によって囲まれた電荷）

同じ例で、r > Rでシェル外の大きなガウス面を使って、ガウスの法則はゼロ以外の電場生成することがわかります。 これは次のように決定される。

球面Sから出る磁束は：

Φ E = {{displaystyle \Phi _{E}=,\!}} 。

∂ S {displaystyle \scriptstyle S,\!｝

E ⋅ d A = ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ S d A { } displaystyle \mathbf {E} {E} {E} ∫ ∫ ∫ S d A {E} displaystyle ∘ S {E} ∫ ∫ ∫ S {E} ∘ {E \cdot dmathbf {A} =Eint ゙EdAcos 0^{circ }=Eint ゙dAcos 0^{s}dAcos, ゙EdAcirc }=Eint ゙EdAcos 0^{s}circ }=Eint ゙EdAcos 0^{d}cos =Eint

半径rの球の表面積は

∫ S∫ d A = 4 π r 2 { {displaystyle ╱╱So_2571↩dA=4π r^{2}} となります。｝

which implies

Φ E = E 4 π r 2 {displaystyle \Phi _{E}=E4pi r^{2}} …このことは、次のことを意味します。

By Gauss’s law is also

◇E = Q A ε 0 {displaystyle ◇Phi _{E}={frac {Q_{A}}{varepsilon _{0}}} ◇Philips = {Q_{B}}} ◇Philips = {Frac {Q_{B}}}{varepsilon _{0}}} ◇Max.

最後にΦEの式を等化すると位置rでのEフィールドの大きさが得られます：

E 4 π r 2 = Q Aε 0 ⇒ E = Q A 4 π ε 0 r 2 …。 {displaystyle E4pi r^{2}={Thrac {Q_{A}}{Thinkvarepsilon _{0}}}quad \Rightarrow E={frac {Q_{A}}{4pi \varepsilon _{0}r^{2}}}.} }.

この自明でない結果は、電荷分布の外から観察すると、どんな球状の電荷分布も点電荷として作用することを示し、実際、クーロンの法則の検証になっています。 そして、前述のように、外側の電荷はカウントされない。

Cylindrical surfaceEdit

電場や以下のいずれかによって生じるフラックスを求める場合、円筒形のガウス面を使用します。

• 均一電荷の無限に長い線
• 均一電荷の無限平面
• 均一電荷の無限に長い円柱

例えば「無限線電荷の近くの場」を以下に示します。 電荷を回転軸とする円柱状の閉曲面を考える。 円柱の長さをhとすると、円柱に囲まれた電荷は

q = λ h {displaystyle q=themelambda h} となる。

,

ここで、qはガウス面に囲まれた電荷である。 図のようにa,b,cの3つの面がある。

中央に線電荷を持つ円柱形の閉曲面、3面の微分面積dAを示す。

The flux passing consists of the three contributions:

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!} }.

A {displaystyle \scriptstyle A,\!} }.

E ⋅ d A = ∫ ∫ a E ⋅ d A + ∫ ∫ b E ⋅ d A {displaystyle \mathbf {E} {displaystyle ∫ c E ⋅ d A + ∫ ∫ ∫ b E ⋅ d A \Ίταμμα για για για για για για για για για για για για για για για για \♪♪～ +int \! \♪♪～ +int \! \cdot dmathbf {A}. }

表面a、bの場合、EとdAは垂直になる。表面cの場合、図のようにEとdAは平行になる。

Φ E = ∫ ∫ a E d A cos 90 ∘ + ∫ b E d A cos 90 ∘ + ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ c d A {displaystyle { begin{aligned}Phi _{E}&=entaint \!\Όταμμα για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για για αια σσσσσσσσσααααα για για αια αια για σσσασσσσααααααααή=End{4008

円柱の表面積は

∫ ∫ c d A = 2 π r h {displaystyle \int _{c}dA=2π rh}となります。

which implies

Φ E = E 2 π r h {displaystyle \Phi _{E}=E2pi rh} .

By Gauss’s law

φ E = q ε 0 {displaystyle \Phi _{E}={mefrac {q}{varepsilon _{0}}}} ←この場合、”E “は “q “です。

ΦEを求めると

E 2 π r h = λ h ε 0 ⇒ E = λ 2 π εとなる。 0 r { {displaystyle E2}pi rh={Thrac {lambda h}{Varepsilon _{0}}}}quad \Rightarrow E={frac {lambda }{2pi \varepsilon _{0}r}}} { {displaystyle E2}} { {thrac {lambda }{Varepsilon _{0}}}} {thrac {thrac {lambda h} {Varepsilon _{0}}} {td={thrac

Gaussian pillboxEdit

この曲面は、電荷密度の均一な無限シート、またはある有限の厚さの電荷のスラブによる電場を求めるために最も頻繁に使用されます。 ピルボックスは円筒形をしており、面積πR²の円筒の一端の円盤、同じ面積のもう一端の円盤、円筒の側面の3つの要素からなると考えることができる。 表面の各構成要素を通る電束の和は、ガウスの法則によって指示されるように、ピルボックスの封入電荷に比例します。 シートに近い電界は一定と近似できるので、ピルボックスは電界線が両端の円盤を直角に貫き、円柱の側面が電界線に平行になるように向きを変えている

。