Teoria di Galois

PreistoriaModifica

La teoria di Galois ebbe origine nello studio delle funzioni simmetriche – i coefficienti di un polinomio monico sono (fino al segno) i polinomi simmetrici elementari nelle radici. Per esempio, (x – a)(x – b) = x2 – (a + b)x + ab, dove 1, a + b e ab sono i polinomi elementari di grado 0, 1 e 2 in due variabili.

Questo fu formalizzato per la prima volta dal matematico francese del XVI secolo François Viète, nelle formule di Viète, per il caso delle radici reali positive. Secondo il matematico inglese del XVIII secolo Charles Hutton, l’espressione dei coefficienti di un polinomio in termini di radici (non solo per le radici positive) fu compresa per la prima volta dal matematico francese del XVII secolo Albert Girard; Hutton scrive:

… la prima persona che comprese la dottrina generale della formazione dei coefficienti delle potenze dalla somma delle radici e dei loro prodotti. Fu il primo a scoprire le regole per sommare le potenze delle radici di qualsiasi equazione.

In questo senso, il discriminante è una funzione simmetrica nelle radici che riflette le proprietà delle radici – è zero se e solo se il polinomio ha una radice multipla, e per i polinomi quadratici e cubici è positivo se e solo se tutte le radici sono reali e distinte, e negativo se e solo se esiste una coppia di radici coniugate complesse distinte. Vedere Discriminante:Natura delle radici per i dettagli.

La cubica fu risolta in parte per la prima volta dal matematico italiano del 15-16° secolo Scipione del Ferro, che però non pubblicò i suoi risultati; questo metodo, però, risolse solo un tipo di equazione cubica. Questa soluzione fu poi riscoperta indipendentemente nel 1535 da Niccolò Fontana Tartaglia, che la condivise con Gerolamo Cardano, chiedendogli di non pubblicarla. Cardano estese poi questa soluzione a numerosi altri casi, usando argomenti simili; vedi maggiori dettagli su Il metodo di Cardano. Dopo la scoperta del lavoro di del Ferro, egli sentì che il metodo di Tartaglia non era più segreto, e così pubblicò la sua soluzione nella sua Ars Magna del 1545. Il suo allievo Lodovico Ferrari risolse il polinomio quartico; anche la sua soluzione fu inclusa nell’Ars Magna. In questo libro, tuttavia, Cardano non fornì una “formula generale” per la soluzione di un’equazione cubica, poiché non aveva né i numeri complessi a sua disposizione, né la notazione algebrica per poter descrivere un’equazione cubica generale. Con il beneficio della notazione moderna e dei numeri complessi, le formule in questo libro funzionano nel caso generale, ma Cardano non lo sapeva. Fu Rafael Bombelli che riuscì a capire come lavorare con i numeri complessi per risolvere tutte le forme di equazione cubica.

Un ulteriore passo fu l’articolo del 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations del matematico italo-francese Joseph Louis Lagrange, nel suo metodo delle risoluzioni di Lagrange, dove analizzò la soluzione di Cardano e Ferrari di cubiche e quartiche considerandole in termini di permutazioni delle radici, che producevano un polinomio ausiliario di grado inferiore, fornendo una comprensione unificata delle soluzioni e ponendo le basi per la teoria dei gruppi e la teoria di Galois. Fondamentalmente, però, non considerava la composizione delle permutazioni. Il metodo di Lagrange non si estendeva alle equazioni quintiche o superiori, perché il risolvente aveva un grado più alto.

La quintica fu quasi dimostrata non avere soluzioni generali per radicali da Paolo Ruffini nel 1799, la cui intuizione chiave fu di usare gruppi di permutazioni, non solo una singola permutazione. La sua soluzione conteneva una lacuna, che Cauchy considerò minore, anche se questa non fu risolta fino al lavoro del matematico norvegese Niels Henrik Abel, che pubblicò una prova nel 1824, stabilendo così il teorema Abel-Ruffini.

Mentre Ruffini e Abel stabilirono che il quintico generale non poteva essere risolto, alcuni quintici particolari possono essere risolti, come x5 – 1 = 0, e il criterio preciso con cui un dato quintico o polinomio superiore poteva essere determinato come risolvibile o meno fu dato da Évariste Galois, che dimostrò che se un polinomio era risolvibile o meno era equivalente al fatto che il gruppo di permutazione delle sue radici – in termini moderni, il suo gruppo di Galois – avesse o meno una certa struttura – in termini moderni, se fosse o meno un gruppo risolvibile. Questo gruppo era sempre risolvibile per i polinomi di grado quattro o inferiore, ma non sempre lo era per i polinomi di grado cinque o superiore, il che spiega perché non esiste una soluzione generale nei gradi superiori.

Scritti di GaloisModifica

Un ritratto di Évariste Galois di circa 15 anni

Nel 1830 Galois (a 18 anni) presentò all’Accademia delle Scienze di Parigi una memoria sulla sua teoria della solvibilità per radicali; L’articolo di Galois fu infine respinto nel 1831 in quanto troppo sommario e per aver dato una condizione in termini di radici dell’equazione invece dei suoi coefficienti. Galois morì poi in un duello nel 1832, e il suo documento, “Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux”, rimase inedito fino al 1846 quando fu pubblicato da Joseph Liouville accompagnato da alcune sue spiegazioni. Prima di questa pubblicazione, Liouville annunciò il risultato di Galois all’Accademia in un discorso tenuto il 4 luglio 1843. Secondo Allan Clark, la caratterizzazione di Galois “sostituisce drammaticamente il lavoro di Abel e Ruffini.”

DopoModifica

La teoria di Galois era notoriamente difficile da capire per i suoi contemporanei, specialmente al livello in cui potevano ampliarla. Per esempio, nel suo commento del 1846, Liouville ha completamente perso il nucleo teorico dei gruppi del metodo di Galois. Joseph Alfred Serret, che frequentava alcune delle conferenze di Liouville, incluse la teoria di Galois nel suo libro di testo Cours d’algèbre supérieure del 1866 (terza edizione). L’allievo di Serret, Camille Jordan, ebbe una comprensione ancora migliore riflessa nel suo libro del 1870 Traité des substitutions et des équations algébriques. Fuori dalla Francia, la teoria di Galois rimase più oscura per un periodo più lungo. In Gran Bretagna, Cayley non riuscì a cogliere la sua profondità e i libri di testo popolari di algebra britannici non menzionarono nemmeno la teoria di Galois fino a ben dopo la fine del secolo. In Germania, gli scritti di Kronecker si concentrarono maggiormente sul risultato di Abel. Dedekind scrisse poco sulla teoria di Galois, ma tenne una lezione su di essa a Göttingen nel 1858, mostrando una comprensione molto buona. I libri di Eugen Netto degli anni 1880, basati sul Traité di Jordan, resero la teoria di Galois accessibile a un pubblico tedesco e americano più ampio, così come il libro di testo di algebra di Heinrich Martin Weber del 1895.