Teoria dell’omotopia

Spazi e mappeModifica

Nella teoria dell’omotopia e nella topologia algebrica, la parola “spazio” indica uno spazio topologico. Per evitare patologie, raramente si lavora con spazi arbitrari; invece, si richiede che gli spazi soddisfino vincoli extra, come essere generati in modo compatto, o Hausdorff, o un complesso CW.

Nella stessa ottica di cui sopra, una “mappa” è una funzione continua, eventualmente con alcuni vincoli extra.

Spesso, si lavora con uno spazio a punta — cioè, uno spazio con un “punto distinto”, chiamato punto base. Una mappa a punta è quindi una mappa che conserva i punti base; cioè, manda il punto base del dominio a quello del codominio. Al contrario, una mappa libera è una mappa che non ha bisogno di conservare i punti base.

OmotopiaModifica

Lasciamo che I indichi l’intervallo unitario. Una famiglia di mappe indicizzate da I, h t : X → Y {displaystyle h_{t}:X a Y}

è detta omotopia da h 0 {displaystyle h_{0}

a h 1 {displaystyle h_{1}

se h : I × X → Y , ( t , x ) ↦ h t ( x ) {\displaystyle h:I\times X\ a Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)}

è una mappa (ad esempio, deve essere una funzione continua). Quando X, Y sono spazi a punta, la h t {displaystyle h_{t}}

sono richieste per preservare i punti base. Si può dimostrare che un’omotopia è una relazione di equivalenza. Dato uno spazio a punti X e un numero intero n ≥ 1 {displaystyle n\geq 1}

, sia π n ( X ) = ∗ {displaystyle \pi _{n}(X)=_{*}}

siano le classi di omotopia delle mappe basate S n → X {displaystyle S^{n} a X}

da una n-sfera (a punta) S n {displaystyle S^{n}}

a X. Come si scopre, π n ( X ) {displaystyle \pi _{n}(X)}

sono gruppi; in particolare, π 1 ( X ) {displaystyle \pi _{1}(X)}

è chiamato il gruppo fondamentale di X.

Se si preferisce lavorare con uno spazio invece che con uno spazio a punti, esiste la nozione di gruppo fondamentale (e varianti superiori): per definizione, il gruppo fondamentale di uno spazio X è la categoria in cui gli oggetti sono i punti di X e i morfismi sono percorsi.

Cofibrazione e fibrazioneModifica

Una mappa f : A → X {displaystyle f:A\\to X}

è detta una cofibrazione se data (1) una mappa h 0 : X → Z {displaystyle h_{0}:X\a Z}

e (2) un’omotopia g t : A → Z {displaystyle g_{t}:A\a Z}

, esiste un’omotopia h t : X → Z {displaystyle h_{t}:X{Z}

che estende h 0 {displaystyle h_{0}}

e tale che h t ∘ f = g t {displaystyle h_{t}circ f=g_{t}

. In un certo senso, è un analogo del diagramma di definizione di un modulo iniettivo in algebra astratta. L’esempio più basilare è una coppia CW ( X , A ) {\displaystyle (X,A)}

; poiché molti lavorano solo con complessi CW, la nozione di cofibrazione è spesso implicita.

Una fibrazione nel senso di Serre è la nozione duale di una cofibrazione: cioè, una mappa p : X → B {displaystyle p:X\a B}

è una fibrazione se data (1) una mappa Z → X {displaystyle Z\a X}

e (2) una omotopia g t : Z → B {displaystyle g_{t}:Z\a B}

, esiste un’omotopia h t : Z → X {displaystyle h_{t}:Z\a X}

tale che h 0 {displaystyle h_{0}}

sia quella data e p ∘ h t = g t {displaystyle p\circ h_{t}=g_{t}

. Un esempio di base è una mappa di copertura (infatti, una fibrazione è una generalizzazione di una mappa di copertura). Se E {displaystyle E}

è un fascio G principale, cioè uno spazio con un’azione (topologica) libera e transitiva di un gruppo (topologico), allora la mappa di proiezione p : E → X

è un esempio di fibrazione.

Spazi classificatori e operazioni di omotopiaModifica

Dato un gruppo topologico G, lo spazio classificatore per i fasci principali G (“il” fino all’equivalenza) è uno spazio B G {\displaystyle BG}

tale che, per ogni spazio X, = {\displaystyle =}

{fascia principale G su X } / ~ , ↦ f ∗ E G {\displaystyle ,\\,\,\mapsto f^{*}EG}

dove

• la parte sinistra è l’insieme delle classi di omotopia delle mappe X → B G {\displaystyle X\\a BG}
  

  ,

• ~ si riferisce all’isomorfismo dei fasci, e
• = è dato dal pull-back del fascio distinto E G {displaystyle EG}
  

  su B G {displaystyle BG}

  

  (detto fascio universale) lungo una mappa X → B G {\displaystyle X a BG}

  

  .

Il teorema di rappresentabilità di Brown garantisce l’esistenza di spazi classificatori.

Spettro e coomologia generalizzataModifica

L’idea che uno spazio classificatore classifichi i fasci principali può essere spinta oltre. Per esempio, si potrebbe provare a classificare le classi di cohomologia: dato un gruppo abeliano A (come Z {displaystyle \mathbb {Z} }

), = H n ( X ; A ) {\displaystyle =\operatorname {H} ^{n}(X;A)}

dove K ( A , n ) {\displaystyle K(A,n)}

è lo spazio di Eilenberg-MacLane. L’equazione di cui sopra porta alla nozione di una teoria di cohomologia generalizzata; cioè, un funtore contravariante dalla categoria degli spazi alla categoria dei gruppi abeliani che soddisfa gli assiomi che generalizzano la teoria di cohomologia ordinaria. Come si scopre, un tale funtore può non essere rappresentabile da uno spazio, ma può sempre essere rappresentato da una sequenza di spazi (a punta) con mappe di struttura chiamate spettro. In altre parole, dare una teoria della coomologia generalizzata è dare uno spettro.

Un esempio di base di uno spettro è lo spettro di una sfera: S 0 → S 1 → S 2 → ⋯ {\displaystyle S^{0} a S^{1} a S^{2} a \cdots }