Superficie gaussiana

Esempi di superfici gaussiane valide (sinistra) e non valide (destra). Sinistra: Alcune superfici gaussiane valide includono la superficie di una sfera, la superficie di un toro e la superficie di un cubo. Sono superfici chiuse che racchiudono completamente un volume 3D. A destra: Alcune superfici che NON possono essere usate come superfici gaussiane, come la superficie del disco, la superficie del quadrato o la superficie dell’emisfero. Non racchiudono completamente un volume 3D, e hanno dei confini (rosso). Si noti che i piani infiniti possono approssimare le superfici gaussiane.

La maggior parte dei calcoli che usano le superfici gaussiane iniziano implementando la legge di Gauss (per l’elettricità):

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\\,\\\!}

S {\displaystyle \scriptstyle S\!}

E ⋅ d A = Q enc ε 0 . {E ⋅ d A = Q enc ε 0 . \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={frac {Q_{{\testo{enc}}}{varepsilon _{0}}}.

Quindi Qenc è la carica elettrica racchiusa dalla superficie gaussiana.

Questa è la legge di Gauss, che combina sia il teorema di divergenza che la legge di Coulomb.

Superficie sfericaModifica

Una superficie gaussiana sferica è usata quando si trova il campo elettrico o il flusso prodotto da uno dei seguenti elementi:

• una carica puntiforme
• un guscio sferico uniformemente distribuito di carica
• qualsiasi altra distribuzione di carica con simmetria sferica

La superficie sferica gaussiana è scelta in modo che sia concentrica alla distribuzione di carica.

Come esempio, consideriamo un guscio sferico carico S di spessore trascurabile, con una carica uniformemente distribuita Q e raggio R. Possiamo usare la legge di Gauss per trovare la grandezza del campo elettrico risultante E ad una distanza r dal centro del guscio carico. È immediatamente evidente che per una superficie gaussiana sferica di raggio r < R la carica racchiusa è zero: quindi il flusso netto è zero e la grandezza del campo elettrico sulla superficie gaussiana è anche 0 (lasciando QA = 0 nella legge di Gauss, dove QA è la carica racchiusa dalla superficie gaussiana).

Con lo stesso esempio, usando una superficie gaussiana più grande fuori dal guscio dove r > R, la legge di Gauss produrrà un campo elettrico non nullo. Questo è determinato come segue.

Il flusso fuori dalla superficie sferica S è:

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\.}

E ⋅ d A = ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ S d A {\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =int ‗int ‖ ‖ ‗int _{c}EdA\cos 0^{\circ }=Eint ‗int ‖ ‖ ‗int _{S}dA\,‖}

L’area della superficie della sfera di raggio r è

∫ ∫ S d A = 4 π r 2 {\displaystyle \int \!\int \int _{S}dA=4\pi r^{2}}

che implica

Φ E = E 4 π r 2 {\displaystyle \Phi _{E}=E4\pi r^{2}}

Per la legge di Gauss il flusso è anche

Φ E = Q A ε 0 {\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_A}{\varepsilon _{0}}}}

infine eguagliando l’espressione per ΦE si ottiene la grandezza del campo E nella posizione r:

E 4 π r 2 = Q A ε 0 ⇒ E = Q A 4 π ε 0 r 2 . {\displaystyle E4\pi r^{2}={frac {Q_{A}}{varepsilon _{0}}}quadro \freccia destra \quadro E={frac {Q_{A}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}.}

Questo risultato non banale mostra che qualsiasi distribuzione sferica di carica si comporta come una carica puntiforme quando viene osservata dall’esterno della distribuzione di carica; questa è infatti una verifica della legge di Coulomb. E, come detto, qualsiasi carica esterna non conta.

Superficie cilindricaModifica

Una superficie cilindrica gaussiana viene usata quando si trova il campo elettrico o il flusso prodotto da uno dei seguenti elementi:

• una linea infinitamente lunga di carica uniforme
• un piano infinito di carica uniforme
• un cilindro infinitamente lungo di carica uniforme

Un esempio di “campo vicino a una linea di carica infinita” è dato qui sotto;

Consideriamo un punto P a una distanza r da una linea di carica infinita avente densità di carica (carica per unità di lunghezza) λ. Immaginate una superficie chiusa a forma di cilindro il cui asse di rotazione è la carica lineare. Se h è la lunghezza del cilindro, allora la carica racchiusa nel cilindro è

q = λ h {\displaystyle q=\lambda h}

,

dove q è la carica racchiusa nella superficie gaussiana. Ci sono tre superfici a, b e c come mostrato in figura. L’area del vettore differenziale è dA, su ogni superficie a, b e c.

Superficie chiusa in forma di cilindro con carica lineare al centro e che mostra le aree differenziali dA di tutte e tre le superfici.

Il flusso che passa consiste dei tre contributi:

Φ E = {\displaystyle \Phi _{E}=\,\!}

A {displaystyle \scriptstyle A\,\!}

{{5346} E ⋅ d A = ∫ ∫ a E ⋅ d A + ∫ ∫ b E ⋅ d A + ∫ ∫ c E ⋅ d A {displaystyle \mathbf {E} A =int! \cdot d\mathbf {A} =int \mathbf \mathbf \mathbf \mathbf \mathbf \mathbf \mathbf \mathbf \mathbf \mathbf \mathbf \cdot d\mathbf {A} +int \\mathbf +int \mathbf +int \mathbf +int \mathbf +int \mathbf +int \mathbf +int \mathbf +int \mathbf \cdot d\mathbf {A} +\e il suo nome e cognome sono stati scelti in base a criteri di sicurezza e di sicurezza. \cdot d\mathbf {A} }

Per le superfici a e b, E e dA saranno perpendicolari.Per la superficie c, E e dA saranno parallele, come mostrato in figura.

Φ E = ∫ ∫ a E d A cos 90 ∘ + ∫ ∫ b E d A cos 90 ∘ + ∫ ∫ c E d A cos 0 ∘ = E ∫ ∫ c d A {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{E}&=\int \!

L’area della superficie del cilindro è

∫ ∫ ∫ c d A = 2 π r h {\displaystyle \int \c_c dA=2\pi rh}

che implica

Φ E = E 2 π r h {\displaystyle \Phi _{E}=E2\pi rh}

per la legge di Gauss

Φ E = q ε 0 {displaystyle \Phi _{E}={frac {q}{\varepsilon _{0}}}}

equando per ΦE si ottiene

E 2 π r h = λ h ε 0 ⇒ E = λ 2 π ε 0 r {displaystyle E2\pi rh={frac {lambda h}{varepsilon _{0}}}quadro \freccia destra \quadro E={frac {lambda }{2\pi \varepsilon _{0}r}}

Pillola gaussianaModifica

Questa superficie è spesso usata per determinare il campo elettrico dovuto a un foglio infinito di carica con densità di carica uniforme, o una lastra di carica con un certo spessore finito. Il pillbox ha una forma cilindrica, e può essere pensato come costituito da tre componenti: il disco a un’estremità del cilindro con area πR², il disco all’altra estremità con area uguale, e il lato del cilindro. La somma del flusso elettrico attraverso ogni componente della superficie è proporzionale alla carica racchiusa nel cilindro, come dettato dalla legge di Gauss. Poiché il campo vicino al foglio può essere approssimato come costante, il pillbox è orientato in modo che le linee di campo penetrino i dischi alle estremità del campo con un angolo perpendicolare e il lato del cilindro sia parallelo alle linee di campo.