Spazio di Hilbert

Spazio di Hilbert, in matematica, un esempio di spazio infinito-dimensionale che ha avuto un grande impatto in analisi e topologia. Il matematico tedesco David Hilbert descrisse per la prima volta questo spazio nel suo lavoro sulle equazioni integrali e sulle serie di Fourier, che occuparono la sua attenzione durante il periodo 1902-12.

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topologia: Storia della topologia

…le proprietà topologiche dello spazio infinito-dimensionale di Hilbert. Questi sforzi prefiguravano una nuova area della topologia ora…

I punti dello spazio di Hilbert sono sequenze infinite (x1, x2, x3, …) di numeri reali che sono sommabili al quadrato, cioè per cui la serie infinita x12 + x22 + x32 + … converge a qualche numero finito. In diretta analogia con lo spazio euclideo n-dimensionale, lo spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale che ha un prodotto interno naturale, o prodotto di punto, che fornisce una funzione di distanza. Sotto questa funzione di distanza diventa uno spazio metrico completo e, quindi, è un esempio di ciò che i matematici chiamano uno spazio di prodotto interno completo.

Poco dopo l’indagine di Hilbert, il matematico austro-tedesco Ernst Fischer e il matematico ungherese Frigyes Riesz dimostrarono che le funzioni integrabili quadrate (funzioni tali che l’integrazione del quadrato del loro valore assoluto è finita) potrebbero anche essere considerate come “punti” in uno spazio di prodotto interno completo che è equivalente allo spazio di Hilbert. In questo contesto, lo spazio di Hilbert ha giocato un ruolo nello sviluppo della meccanica quantistica, e ha continuato ad essere un importante strumento matematico nella matematica applicata e nella fisica matematica.

In analisi, la scoperta dello spazio di Hilbert ha inaugurato l’analisi funzionale, un nuovo campo in cui i matematici studiano le proprietà di spazi lineari abbastanza generali. Tra questi spazi ci sono gli spazi completi del prodotto interno, che ora sono chiamati spazi di Hilbert, una denominazione usata per la prima volta nel 1929 dal matematico ungherese-americano John von Neumann per descrivere questi spazi in modo assiomatico astratto. Lo spazio di Hilbert ha anche fornito una fonte per ricche idee in topologia. Come spazio metrico, lo spazio di Hilbert può essere considerato uno spazio topologico lineare infinito, e importanti questioni relative alle sue proprietà topologiche sono state sollevate nella prima metà del XX secolo. Motivati inizialmente da tali proprietà degli spazi di Hilbert, i ricercatori hanno stabilito un nuovo sottocampo della topologia chiamato topologia a dimensione infinita negli anni ’60 e ’70.

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