Simmetria di gauge (matematica)

In matematica, qualsiasi sistema lagrangiano generalmente ammette simmetrie di gauge, anche se può capitare che siano banali. In fisica teorica, la nozione di simmetrie di gauge che dipendono da funzioni parametriche è una pietra miliare della teoria di campo contemporanea.

Una simmetria di gauge di una lagrangiana L {\displaystyle L} è definita come un operatore differenziale su un qualche fascio vettoriale E che prende i suoi valori nello spazio lineare delle simmetrie (variazionali o esatte) di L {displaystyle L} . Pertanto, una simmetria di gauge di L dipende dalle sezioni di E {displaystyle E} e le loro derivate parziali. Per esempio, questo è il caso delle simmetrie di gauge nella teoria di campo classica. La teoria di gauge di Yang-Mills e la teoria della gravitazione di gauge esemplificano le teorie di campo classiche con simmetrie di gauge.

Le simmetrie di gauge possiedono le seguenti due particolarità.

1. Essendo simmetrie lagrangiane, le simmetrie di gauge di una lagrangiana soddisfano il primo teorema di Noether, ma la corrispondente corrente conservata J μ {displaystyle J^{\\mu }} assume una particolare forma superpotenziale J μ = W μ + d ν U ν μ {displaystyle J^{\mu }=W^{\mu }+d_{\nu }U^{\mu} dove il primo termine W μ {displaystyle W^{\mu }} svanisce sulle soluzioni delle equazioni di Eulero-Lagrange e il secondo è un termine limite, dove U ν μ {displaystyle U^{\mu } è chiamato superpotenziale.
2. In accordo con il secondo teorema di Noether, c’è una corrispondenza uno-a-uno tra le simmetrie di gauge di una lagrangiana e le identità di Noether che l’operatore di Eulero-Lagrange soddisfa. Di conseguenza, le simmetrie di gauge caratterizzano la degenerazione di un sistema lagrangiano.

Nota che, nella teoria quantistica dei campi, un funzionale generatore non riesce ad essere invariante sotto le trasformazioni di gauge, e le simmetrie di gauge sono sostituite dalle simmetrie BRST, che dipendono dai fantasmi e agiscono sia sui campi che sui fantasmi.