Processo di Gram-Schmidt
di Marco Taboga, PhD
Il processo (o procedura) di Gram-Schmidt è una sequenza di operazioni che permettono di trasformare un insieme di vettori linearmente indipendenti in un insieme di vettori ortonormali che coprono lo stesso spazio dell’insieme originale.
Preliminari
Rivediamo alcune nozioni che sono essenziali per comprendere il processo di Gram-Schmidt.
Ricordiamo che due vettori e
si dicono ortogonali se e solo se il loro prodotto interno è uguale a zero, cioè
Dato un prodotto interno, possiamo definire la norma (lunghezza) di un vettore come segue:
Un insieme di vettori è detto ortonormale se e solo se i suoi elementi hanno norma unitaria e sono ortogonali tra loro. In altre parole, un insieme di vettori
è ortonormale se e solo se
Abbiamo dimostrato che i vettori di un insieme ortonormale sono linearmente indipendenti.
Quando una base per uno spazio vettoriale è anche un insieme ortonormale, si chiama base ortonormale.
Proiezioni su insiemi ortonormali
Nel processo di Gram-Schmidt, usiamo ripetutamente la prossima proposizione, che mostra che ogni vettore può essere decomposto in due parti: 1) la sua proiezione su un insieme ortonormale e 2) un residuo che è ortogonale all’insieme ortonormale dato.
Proposizione Sia uno spazio vettoriale dotato di un prodotto interno
. Sia
un insieme ortonormale. Per qualsiasi
, abbiamo
dove
è ortogonale a
per qualsiasi
DefinizioneQuindi, per ogni
, abbiamo che
dove: nei passi
e
abbiamo usato il fatto che il prodotto interno è lineare nel suo primo argomento; nel passo
abbiamo usato il fatto che
se
poiché abbiamo a che fare con un insieme ortonormale; nel passo
abbiamo usato il fatto che la norma di
è uguale a 1. Pertanto,
, come definito sopra, è ortogonale a tutti gli elementi dell’insieme ortonormale, il che dimostra la proposizione.
Il termineè chiamato la proiezione lineare di
sull’insieme ortonormale
, mentre il termine
è chiamato il residuo della proiezione lineare.
Normalizzazione
Un altro fatto forse ovvio che useremo ripetutamente nel processo di Gram-Schmidt è che, se prendiamo un qualsiasi vettore non nullo e lo dividiamo per la sua norma, allora il risultato della divisione è un nuovo vettore che ha norma unitaria.
In altre parole, se allora, per la proprietà di definitezza della norma, abbiamo che
Di conseguenza, possiamo definiree, per la positività e l’omogeneità assoluta della norma, abbiamo
Panoramica della procedura
Ora che sappiamo come normalizzare un vettore e come decomporlo in una proiezione su un insieme ortonormale e un residuo, siamo pronti per spiegare la procedura di Gram-Schmidt.
Daremo una panoramica del procedimento, dopo di che lo esprimeremo formalmente come una proposizione e discuteremo tutti i dettagli tecnici nella dimostrazione della proposizione.
Ecco la panoramica.
Ci viene dato un insieme di vettori linearmente indipendenti .
Per iniziare il processo, normalizziamo il primo vettore, cioè definiamo
Nel secondo passo, proiettiamo su
:
dove
è il residuo della proiezione.
Poi, normalizziamo il residuo:
Proveremo più tardi che (in modo che la normalizzazione possa essere eseguita) perché i vettori di partenza sono linearmente indipendenti.
I due vettori e
così ottenuti sono ortonormali.
Nel terzo passo, proiettiamo su
e
:
e calcoliamo il residuo della proiezione
.
Poi lo normalizziamo:
Procediamo in questo modo fino ad ottenere l’ultimo residuo normalizzato .
Alla fine del processo, i vettori formano un insieme ortonormale perché:
-
sono il risultato di una normalizzazione, e di conseguenza hanno norma unitaria;
-
ogni
è ottenuto da un residuo che ha la proprietà di essere ortogonale a
.
Per completare questa panoramica, ricordiamo che lo span lineare di è l’insieme di tutti i vettori che possono essere scritti come combinazioni lineari di
; è indicato con
ed è uno spazio lineare.
Poiché i vettori sono combinazioni linearmente indipendenti di
, ogni vettore che può essere scritto come combinazione lineare di
può essere scritto anche come combinazione lineare di
. Pertanto, gli span dei due insiemi di vettori coincidono:
Affermazione formale
Formalizziamo qui il processo di Gram-Schmidt come una proposizione, la cui dimostrazione contiene tutti i dettagli tecnici della procedura.
Proposizione Sia uno spazio vettoriale dotato di un prodotto interno
. Che
siano vettori linearmente indipendenti. Allora, esiste un insieme di vettori ortonormali
tale che
per qualsiasi
.
La prova è per induzione: prima proviamo che la proposizione è vera per , e poi proviamo che è vera per un generico
se vale per
. Quando
, il vettore
ha norma unitaria e costituisce da solo un insieme ortonormale: non ci sono altri vettori, quindi la condizione di ortogonalità è banalmente soddisfatta. L’insieme
è l’insieme di tutti i multipli scalari di
, che sono anche multipli scalari di
(e viceversa). Quindi,
Ora, supponiamo che la proposizione sia vera per
. Allora, possiamo proiettare
su
:
dove il residuo
è ortogonale a
. Supponiamo che
. Allora,
Siccome, per ipotesi,
per qualsiasi
, abbiamo che
per qualsiasi
, dove
sono scalari. Quindi,
In altre parole, l’assunzione che
porta alla conclusione che
è una combinazione lineare di
. Ma questo è impossibile perché una delle ipotesi della proposizione è che
siano linearmente indipendenti. Di conseguenza, deve essere che
. Possiamo quindi normalizzare il residuo e definire il vettore
che ha norma unitaria. Sappiamo già che
è ortogonale a
. Questo implica che anche
è ortogonale a
. Quindi,
è un insieme ortonormale. Ora, prendiamo un qualsiasi vettore
che può essere scritto come
dove
sono scalari. Poiché, per ipotesi,
abbiamo che l’equazione (2) può anche essere scritta come
dove
sono scalari, e: nel passo
abbiamo usato l’equazione (1); nel passo
abbiamo usato la definizione di
. Così, abbiamo dimostrato che ogni vettore che può essere scritto come una combinazione lineare di
può anche essere scritto come una combinazione lineare di
. L’ipotesi (3) permette di provare il contrario in modo del tutto analogo:
In altre parole, ogni combinazione lineare di
è anche una combinazione lineare di
. Questo dimostra che
e conclude la dimostrazione.
Ogni spazio a prodotto interno ha una base ortonormale
La seguente proposizione presenta un’importante conseguenza del processo di Gram-Schmidt.
Proposizione Sia uno spazio vettoriale dotato di un prodotto interno
. Se
ha dimensione finita
, allora esiste una base ortonormale
per
.
Siccome è a dimensione finita, esiste almeno una base per
, costituita da
vettori
. Possiamo applicare la procedura di Gram-Schmidt alla base e ottenere un insieme ortonormale
. Poiché
è una base, essa si estende su
. Pertanto,
Quindi,
è una base ortonormale di
.
Esercizi risolti
Di seguito puoi trovare alcuni esercizi con soluzioni spiegate.
Esercizio 1
Consideriamo lo spazio di tutti i
vettori aventi entrate reali e il prodotto interno
dove
e
è la trasposizione di
. Definire il vettore
Normalizzare .
La norma di è
Quindi, la normalizzazione di
è
Esercizio 2
Consideriamo lo spazio di tutti i
vettori con entrate reali e il prodotto interno
dove
. Consideriamo i due vettori linearmente indipendenti
Trasformarli in un insieme ortonormale utilizzando il processo di Gram-Schmidt.
La norma di è
Quindi, il primo vettore ortonormale è
Il prodotto interno di
e
è
La proiezione di
su
è
Il residuo della proiezione è
La norma del residuo è
e il residuo normalizzato è
Quindi, l’insieme ortonormale che stavamo cercando è
Come citare
Cita come:
Taboga, Marco (2017). “Processo di Gram-Schmidt”, Lezioni di algebra matriciale. https://www.statlect.com/matrix-algebra/Gram-Schmidt-process.
Leave a Reply