Probabilità geometrica

Problemi del seguente tipo, e le loro tecniche di soluzione, furono studiati per la prima volta nel XVIII secolo, e l’argomento generale divenne noto come probabilità geometrica.

• (ago di Buffon) Qual è la probabilità che un ago lasciato cadere a caso su un pavimento segnato da linee parallele equidistanti attraversi una delle linee?
• Qual è la lunghezza media di una corda casuale di un cerchio unitario? (cfr. paradosso di Bertrand).
• Qual è la probabilità che tre punti casuali nel piano formino un triangolo acuto (piuttosto che ottuso)?
• Qual è l’area media delle regioni poligonali formate quando linee orientate in modo casuale sono distribuite sul piano?

Per lo sviluppo matematico si veda la concisa monografia di Solomon.

Dalla fine del XX secolo, l’argomento si è diviso in due argomenti con diverse enfasi. La geometria integrale è nata dal principio che i modelli di probabilità matematicamente naturali sono quelli che sono invarianti sotto certi gruppi di trasformazione. Questo argomento enfatizza lo sviluppo sistematico di formule per il calcolo dei valori attesi associati agli oggetti geometrici derivati da punti casuali, e può essere visto in parte come un ramo sofisticato del calcolo multivariato. La geometria stocastica enfatizza gli stessi oggetti geometrici casuali. Per esempio: diversi modelli per linee casuali o per tassellazioni casuali del piano; insiemi casuali formati facendo in modo che i punti di un processo spaziale di Poisson siano (diciamo) centri di dischi.