Omorfismo
Diversi tipi di omomorfismi hanno un nome specifico, che viene definito anche per i morfismi generali.
IsomorfismoModifica
Un isomorfismo tra strutture algebriche dello stesso tipo è comunemente definito come un omomorfismo biiettivo.:134 :28
Nel contesto più generale della teoria delle categorie, un isomorfismo è definito come un morfismo che ha un inverso che è anche un morfismo. Nel caso specifico delle strutture algebriche, le due definizioni sono equivalenti, sebbene possano differire per le strutture non algebriche, che hanno un insieme sottostante.
Più precisamente, se
f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
è un (omo)morfismo, ha un inverso se esiste un omomorfismo
g : B → A {displaystyle g:B\A}
in modo tale che
f ∘ g = Id B e g ∘ f = Id A . {displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B} e g ∘ f = Id A. _{A}.}
Se A {displaystyle A}
e B {displaystyle B}
hanno insiemi sottostanti, e f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
ha un inverso g {\displaystyle g}
, allora f {displaystyle f}
è biiettiva. Infatti, f {displaystyle f}
è iniettiva, poiché f ( x ) = f ( y ) {\displaystyle f(x)=f(y)}
implica x = g ( f ( x ) ) = g ( f ( y ) ) = y {\displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}
, e f {\displaystyle f}
è surgiettiva, poiché, per qualsiasi x {\displaystyle x}
in B {\displaystyle B}
, si ha x = f ( g ( x ) ) {\displaystyle x=f(g(x))}
, e x {\displaystyle x}
è l’immagine di un elemento di A {\displaystyle A}
.
Inversamente, se f : A → B {\displaystyle f:A\\to B}
è un omomorfismo biiettivo tra strutture algebriche, sia g : B → A {\displaystyle g:B\a A}
sia la mappa tale che g ( y ) {displaystyle g(y)}
è l’unico elemento x {displaystyle x}
di A {displaystyle A}
tale che f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y}
. Si ha f ∘ g = Id B e g ∘ f = Id A , {displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} e f = Id B e g = Id A,
è un’operazione binaria della struttura, per ogni coppia x {\displaystyle x}
, y {\displaystyle y}
di elementi di B {\displaystyle B}
, si ha g ( x ∗ B y ) = g ( f ( g ( x ) ) ∗ B f ( g ( y ) ) ) = g ( f ( g ( x ) ∗ A g ( y ) ) ) = g ( x ) ∗ A g ( y ) , {\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y),
e g {\displaystyle g}
è quindi compatibile con ∗ . {\displaystyle *.}
Poiché la prova è simile per qualsiasi arità, questo dimostra che g {\displaystyle g}
è un omomorfismo.
Questa prova non funziona per strutture non algebriche. Per esempio, per gli spazi topologici, un morfismo è una mappa continua, e l’inverso di una mappa continua biiettiva non è necessariamente continua. Un isomorfismo di spazi topologici, chiamato omeomorfismo o mappa bicontinua, è quindi una mappa continua biiettiva, la cui inversa è anch’essa continua.
EndomorfismoModifica
Un endomorfismo è un omomorfismo il cui dominio è uguale al codominio, o, più generalmente, un morfismo la cui origine è uguale al bersaglio.:135
Gli endomorfismi di una struttura algebrica, o di un oggetto di una categoria formano un monoide sotto composizione.
Gli endomorfismi di uno spazio vettoriale o di un modulo formano un anello. Nel caso di uno spazio vettoriale o di un modulo libero di dimensione finita, la scelta di una base induce un isomorfismo di anello tra l’anello degli endomorfismi e l’anello delle matrici quadrate della stessa dimensione.
AutomorfismoModifica
Un automorfismo è un endomorfismo che è anche un isomorfismo.135
Gli automorfismi di una struttura algebrica o di un oggetto di una categoria formano un gruppo sotto composizione, che si chiama gruppo di automorfismo della struttura.
Molti gruppi che hanno ricevuto un nome sono gruppi di automorfismo di qualche struttura algebrica. Per esempio, il gruppo lineare generale GL n ( k ) {displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}
è il gruppo di automorfismi di uno spazio vettoriale di dimensione n {\displaystyle n}
su un campo k {displaystyle k}
.
I gruppi di automorfismi dei campi furono introdotti da Évariste Galois per studiare le radici dei polinomi, e sono la base della teoria di Galois.
MonomorfismoModifica
Per le strutture algebriche, i monomorfismi sono comunemente definiti come omomorfismi iniettivi.:134 :29
Nel contesto più generale della teoria delle categorie, un monomorfismo è definito come un morfismo che è annullabile a sinistra. Questo significa che un (omo)morfismo f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
è un monomorfismo se, per ogni coppia g {displaystyle g}
, h {displaystyle h}
di morfismi da qualsiasi altro oggetto C {\displaystyle C}
a A {\displaystyle A}
, allora f ∘ g = f ∘ h {\displaystyle f\circ g=f\circ h}
implica g = h {\displaystyle g=h}
.
Queste due definizioni di monomorfismo sono equivalenti per tutte le strutture algebriche comuni. Più precisamente, sono equivalenti per i campi, per i quali ogni omomorfismo è un monomorfismo, e per le varietà dell’algebra universale, cioè strutture algebriche per le quali le operazioni e gli assiomi (identità) sono definiti senza alcuna restrizione (i campi non sono una varietà, poiché l’inverso moltiplicativo è definito o come operazione unaria o come proprietà della moltiplicazione, che sono, in entrambi i casi, definiti solo per elementi non nulli).
In particolare, le due definizioni di un monomorfismo sono equivalenti per insiemi, magmi, semigruppi, monoidi, gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali e moduli.
Un monomorfismo scisso è un omomorfismo che ha un inverso sinistro e quindi è esso stesso un inverso destro di tale altro omomorfismo. Cioè, un omomorfismo f : A → B {\displaystyle f\colon A a B}
è un monomorfismo diviso se esiste un omomorfismo g : B → A {displaystyle g\colon B\a A}
tale che g ∘ f = Id A . {\displaystyle g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}
Un monomorfismo diviso è sempre un monomorfismo, per entrambi i significati di monomorfismo. Per gli insiemi e gli spazi vettoriali, ogni monomorfismo è un monomorfismo scisso, ma questa proprietà non vale per le strutture algebriche più comuni.
Un omomorfismo iniettivo è annullabile a sinistra: Se f ∘ g = f ∘ h , {displaystyle f\circ g=f\circ h,}
si ha f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) )
per ogni x {displaystyle x}
in C {displaystyle C}
, la fonte comune di g {\displaystyle g}
e h {\displaystyle h}
. Se f {displaystyle f}
è iniettiva, allora g ( x ) = h ( x ) {\displaystyle g(x)=h(x)}
, e quindi g = h {\displaystyle g=h}
. Questa dimostrazione funziona non solo per le strutture algebriche, ma anche per qualsiasi categoria i cui oggetti sono insiemi e le frecce sono mappe tra questi insiemi. Per esempio, una mappa continua iniettiva è un monomorfismo nella categoria degli spazi topologici.
Per dimostrare che, viceversa, un omomorfismo annullabile a sinistra è iniettivo, è utile considerare un oggetto libero su x {\displaystyle x}
. Data una varietà di strutture algebriche, un oggetto libero su x {\displaystyle x}
è una coppia costituita da una struttura algebrica L {\displaystyle L}
di questa varietà e un elemento x {\displaystyle x}
di L {\displaystyle L}
che soddisfa la seguente proprietà universale: per ogni struttura S {\displaystyle S}
della varietà, e ogni elemento s {\displaystyle s}
di S {\displaystyle S}
, esiste un unico omomorfismo f : L → S {displaystyle f:L a S}
tale che f ( x ) = s {\displaystyle f(x)=s}
. Per esempio, per gli insiemi, l’oggetto libero su x {\displaystyle x}
è semplicemente { x } {\displaystyle \{x}}
; per i semigruppi, l’oggetto libero su x {\displaystyle x}
è { x , x 2 , … , x n , … } che, essendo un semigruppo, è isomorfo al semigruppo additivo dei numeri interi positivi; per i monoidi, l’oggetto libero su x
è { 1 , x , x 2 , … , x n , … } che, essendo un monoide, è isomorfo al monoide additivo dei numeri interi non negativi; per i gruppi, l’oggetto libero su x {displaystyle x}
è il gruppo ciclico infinito { … , x – n , … , x – 1 , 1 , x , x 2 , … , x n , … } , {\displaystyle \\\code(01)},x^{-n},\ldots ,x^{-1},1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \code(01)},}
} è l’anello polinomiale Z ; {\displaystyle \mathbb {Z} ;}
per gli spazi vettoriali o i moduli, l’oggetto libero su x {displaystyle x}
è lo spazio vettoriale o il modulo libero che ha x {displaystyle x}
come base.
Se esiste un oggetto libero su x
, allora ogni omomorfismo annullabile a sinistra è iniettivo: sia f : A → B {\displaystyle f\colon A a B}
sia un omomorfismo annullabile a sinistra, e a {\displaystyle a}
e b {\displaystyle b}
siano due elementi di A {\displaystyle A}
tali che f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle f(a)=f(b)}
. Per definizione dell’oggetto libero F {\displaystyle F}
, esistono omomorfismi g {\displaystyle g}
e h {displaystyle h}
da F {\displaystyle F}
a A {\displaystyle A}
tale che g ( x ) = a {\displaystyle g(x)=a}
e h ( x ) = b {displaystyle h(x)=b}
. Poiché f ( g ( x ) ) = f ( h ( x ) ) {\displaystyle f(g(x))=f(h(x))}
, si ha f ∘ g = f ∘ h , {\displaystyle f\circ g=f\circ h,
per l’unicità nella definizione di una proprietà universale. Poiché f {displaystyle f}
è annullabile a sinistra, si ha g = h {displaystyle g=h}
, e quindi a = b {displaystyle a=b}
. Pertanto, f {displaystyle f}
è iniettiva.
Esistenza di un oggetto libero su x {\displaystyle x}
per una varietà (vedi anche Oggetto libero § Esistenza): Per costruire un oggetto libero su x {\displaystyle x}
, considerare l’insieme W {\displaystyle W}
delle formule ben formate costruite a partire da x {\displaystyle x}
e le operazioni della struttura. Due formule si dicono equivalenti se si può passare dall’una all’altra applicando gli assiomi (identità della struttura). Questo definisce una relazione di equivalenza, se le identità non sono soggette a condizioni, cioè se si lavora con una varietà. Allora le operazioni della varietà sono ben definite sull’insieme delle classi di equivalenza di W {\displaystyle W}
per questa relazione. È facile mostrare che l’oggetto risultante è un oggetto libero su W
.
EpimorfismoModifica
In algebra, gli epimorfismi sono spesso definiti come omomorfismi surjettivi.:134:43 D’altra parte, nella teoria delle categorie, gli epimorfismi sono definiti come morfismi annullabili a destra. Questo significa che un (omo)morfismo f : A → B {\displaystyle f:A\to B}
è un epimorfismo se, per ogni coppia g {displaystyle g}
, h {displaystyle h}
di morfismi da B {\displaystyle B}
a qualsiasi altro oggetto C {\displaystyle C}
, l’uguaglianza g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f}
implica g = h {\displaystyle g=h}
.
Un omomorfismo surgiettivo è sempre annullabile a destra, ma il contrario non è sempre vero per le strutture algebriche. Tuttavia, le due definizioni di epimorfismo sono equivalenti per insiemi, spazi vettoriali, gruppi abeliani, moduli (vedi sotto per una dimostrazione) e gruppi. L’importanza di queste strutture in tutta la matematica, e specialmente nell’algebra lineare e nell’algebra omologica, può spiegare la coesistenza di due definizioni non equivalenti.
Le strutture algebriche per le quali esistono epimorfismi non soggettivi includono semigruppi e anelli. L’esempio più basilare è l’inclusione degli interi nei numeri razionali, che è un omomorfismo di anelli e di semigruppi moltiplicativi. Per entrambe le strutture è un monomorfismo e un epimorfismo non soggettivo, ma non un isomorfismo.
Un’ampia generalizzazione di questo esempio è la localizzazione di un anello per un insieme moltiplicativo. Ogni localizzazione è un epimorfismo d’anello, che non è, in generale, surjective. Poiché le localizzazioni sono fondamentali nell’algebra commutativa e nella geometria algebrica, questo può spiegare perché in queste aree, la definizione degli epimorfismi come omomorfismi annullabili a destra è generalmente preferita.
Un epimorfismo scisso è un omomorfismo che ha un inverso destro e quindi è esso stesso un inverso sinistro di quell’altro omomorfismo. Cioè, un omomorfismo f : A → B {\displaystyle f\colon A a B}
è un epimorfismo diviso se esiste un omomorfismo g : B → A {displaystyle g\colon B\a A}
tale che f ∘ g = Id B . {displaystyle f\circ g==\nome operatore {Id} _{B}.}
Un epimorfismo diviso è sempre un epimorfismo, per entrambi i significati di epimorfismo. Per gli insiemi e gli spazi vettoriali, ogni epimorfismo è un epimorfismo scisso, ma questa proprietà non vale per le strutture algebriche più comuni.
In sintesi, si ha
epimorfismo scisso ⟹ epimorfismo (surgiettivo) ⟹ epimorfismo (annullabile a destra) ; {displaystyle {{testo{epimorfismo scisso}} implica {testo{epimorfismo (surgiettivo)} implica {testo{epimorfismo (annullabile a destra)};}
l’ultima implicazione è un’equivalenza per insiemi, spazi vettoriali, moduli e gruppi abeliani; la prima implicazione è un’equivalenza per insiemi e spazi vettoriali.
Lascia f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B}
sia un omomorfismo. Vogliamo dimostrare che se non è surgiettivo, non è annullabile a destra.
Nel caso degli insiemi, sia b {\displaystyle b}
un elemento di B {displaystyle B}
che non appartiene a f ( A ) {\displaystyle f(A)}
, e definire g , h : B → B {\displaystyle g,h\colon B a B}
tale che g {\displaystyle g}
sia la funzione identità, e che h ( x ) = x {\displaystyle h(x)=x}
per ogni x ∈ B , {\displaystyle x\in B,}
tranne che h ( b ) {\displaystyle h(b)}
sia un qualsiasi altro elemento di B {displaystyle B}
. Chiaramente f {displaystyle f}
non è annullabile a destra, poiché g ≠ h {displaystyle g\neq h}
e g ∘ f = h ∘ f . {\code(0144)}”g \circ f=h\circ f.}
Nel caso di spazi vettoriali, gruppi abeliani e moduli, la dimostrazione si basa sull’esistenza di cokernel e sul fatto che le mappe zero sono omomorfismi: sia C {\displaystyle C}
sia il cokernel di f {displaystyle f}
, e g : B → C {\displaystyle g\colon B\to C}
sia la mappa canonica, tale che g ( f ( A ) ) = 0 {displaystyle g(f(A))=0}
. Sia h : B → C {\displaystyle h\colon B\to C}
sia la mappa zero. Se f {displaystyle f}
non è surgiettiva, C ≠ 0 {displaystyle C\neq 0}
, e quindi g ≠ h {displaystyle g\neq h}
(una è una mappa zero, mentre l’altra no). Quindi f {displaystyle f}
non è annullabile, perché g ∘ f = h ∘ f {displaystyle g\circ f=h\circ f}
(entrambi sono la mappa zero da A {displaystyle A}
a C {displaystyle C}
).
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