Omeomorfismo

Spazio topologico

Uno dei concetti strutturali più basilari in topologia è trasformare un insieme X in uno spazio topologico specificando una collezione di sottoinsiemi T di X. Tale collezione deve soddisfare tre assiomi: (1) l’insieme X stesso e l’insieme vuoto sono membri di T, (2) l’intersezione di qualsiasi numero finito di insiemi in T è in T, e (3) l’unione di qualsiasi collezione di insiemi in T è in T. Gli insiemi in T sono chiamati insiemi aperti e T è chiamata topologia su X. Per esempio, la linea dei numeri reali diventa uno spazio topologico quando la sua topologia è specificata come la collezione di tutte le possibili unioni di intervalli aperti, come (-5, 2), (1/2, π), (0, radice quadrata di√2), …. (Un processo analogo produce una topologia su uno spazio metrico). Altri esempi di topologie su insiemi si verificano puramente in termini di teoria degli insiemi. Per esempio, l’insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme X è chiamato topologia discreta su X, e l’insieme costituito solo dall’insieme vuoto e da X stesso forma la topologia indiscreta, o banale, su X. Un dato spazio topologico dà origine ad altri spazi topologici correlati. Per esempio, un sottoinsieme A di uno spazio topologico X eredita una topologia, chiamata topologia relativa, da X quando gli insiemi aperti di A sono presi per essere le intersezioni di A con gli insiemi aperti di X. L’enorme varietà di spazi topologici fornisce una ricca fonte di esempi per motivare teoremi generali, così come controesempi per dimostrare false congetture. Inoltre, la generalità degli assiomi per uno spazio topologico permette ai matematici di vedere molti tipi di strutture matematiche, come le collezioni di funzioni in analisi, come spazi topologici e quindi spiegare i fenomeni associati in modi nuovi.

Uno spazio topologico può anche essere definito da un insieme alternativo di assiomi che coinvolgono insiemi chiusi, che sono complementi di insiemi aperti. Nelle prime considerazioni sulle idee topologiche, specialmente per gli oggetti nello spazio euclideo n-dimensionale, gli insiemi chiusi erano sorti naturalmente nello studio della convergenza di sequenze infinite (vedi serie infinite). È spesso conveniente o utile assumere assiomi extra per una topologia, al fine di stabilire risultati che tengono per una classe significativa di spazi topologici ma non per tutti gli spazi topologici. Uno di questi assiomi richiede che due punti distinti appartengano a insiemi aperti disgiunti. Uno spazio topologico che soddisfa questo assioma è stato chiamato spazio di Hausdorff.