Ipotesi del continuo

Ipotesi del continuo, affermazione della teoria degli insiemi che l’insieme dei numeri reali (il continuo) è in un certo senso il più piccolo possibile. Nel 1873 il matematico tedesco Georg Cantor dimostrò che il continuo non è numerabile, cioè che i numeri reali sono un’infinità più grande dei numeri contati, un risultato chiave per iniziare la teoria degli insiemi come materia matematica. Inoltre, Cantor sviluppò un modo di classificare la dimensione degli insiemi infiniti secondo il numero dei suoi elementi, o la sua cardinalità. (Vedi teoria degli insiemi: cardinalità e numeri transfiniti.) In questi termini, l’ipotesi del continuo può essere affermata come segue: La cardinalità del continuo è il più piccolo numero cardinale non numerabile.

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Teoria degli insiemi: Cardinalità e numeri transfiniti

…una congettura nota come ipotesi del continuo.

Nella notazione di Cantor, l’ipotesi del continuo può essere enunciata dalla semplice equazione 2ℵ0 = ℵ1, dove ℵ0 è il numero cardinale di un insieme numerabile infinito (come l’insieme dei numeri naturali), e i numeri cardinali di “insiemi ben ordinabili” più grandi sono ℵ1, ℵ2, …, ℵα, …, indicizzati dai numeri ordinali. Si può dimostrare che la cardinalità del continuo è uguale a 2ℵ0; quindi, l’ipotesi del continuo esclude l’esistenza di un insieme di dimensioni intermedie tra i numeri naturali e il continuo.

Un’affermazione più forte è l’ipotesi del continuo generalizzato (GCH): 2ℵα = ℵα + 1 per ogni numero ordinale α. Il matematico polacco Wacław Sierpiński dimostrò che con la GCH si può derivare l’assioma della scelta.

Come per l’assioma della scelta, il matematico americano di origine austriaca Kurt Gödel dimostrò nel 1939 che, se gli altri assiomi standard di Zermelo-Fraenkel (ZF; vedi la ) sono coerenti, allora non confutano l’ipotesi del continuo e nemmeno la GCH. Cioè, il risultato dell’aggiunta di GCH agli altri assiomi rimane coerente. Poi nel 1963 il matematico americano Paul Cohen ha completato il quadro dimostrando, sempre sotto l’ipotesi che ZF sia coerente, che ZF non fornisce una prova dell’ipotesi del continuo.

Siccome ZF non prova né confuta l’ipotesi del continuo, rimane la questione se accettare l’ipotesi del continuo sulla base di un concetto informale di cosa sono gli insiemi. La risposta generale nella comunità matematica è stata negativa: l’ipotesi del continuo è un’affermazione limitativa in un contesto in cui non c’è alcuna ragione nota per imporre un limite. Nella teoria degli insiemi, l’operazione power-set assegna ad ogni insieme di cardinalità ℵα il suo insieme di tutti i sottoinsiemi, che ha cardinalità 2ℵα. Non sembra esserci alcuna ragione per imporre un limite alla varietà di sottoinsiemi che un insieme infinito può avere.