Giroide

Il giroide è l’unico membro incorporato non banale della famiglia di associati delle superfici P e D di Schwarz. Il suo angolo di associazione rispetto alla superficie D è di circa 38,01°. Il giroide è simile al lidinoide. Il giroide è stato scoperto nel 1970 dallo scienziato della NASA Alan Schoen. Ha calcolato l’angolo di associazione e ha dato una dimostrazione convincente di immagini di intricati modelli plastici, ma non ha fornito una prova di incastonabilità. Schoen notò che il giroide non contiene né linee rette né simmetrie planari. Karcher ha dato un trattamento diverso e più contemporaneo della superficie nel 1989 usando la costruzione della superficie coniugata. Nel 1996 Große-Brauckmann e Wohlgemuth dimostrarono che è incorporato, e nel 1997 Große-Brauckmann fornì varianti CMC del giroide e fece ulteriori indagini numeriche sulle frazioni di volume dei giroidi minimi e CMC (curvatura media costante).

Il giroide separa lo spazio in due labirinti di passaggi oppostamente congruenti. Il giroide ha il gruppo spaziale I4132 (n. 214). I canali corrono attraverso i labirinti del giroide nelle direzioni (100) e (111); i passaggi emergono ad angoli di 70,5 gradi rispetto a qualsiasi canale mentre viene attraversato, la direzione in cui lo fanno ruota lungo il canale, dando origine al nome “giroide”. Un modo per visualizzare la superficie è quello di immaginare i “catenoidi quadrati” della superficie P (formati da due quadrati in piani paralleli, con una vita quasi circolare); la rotazione intorno ai bordi del quadrato genera la superficie P. Nella famiglia associata, questi catenoidi quadrati si “aprono” (in modo simile al modo in cui il catenoide si “apre” ad un elicoide) per formare nastri rotanti, per poi diventare finalmente la superficie D di Schwarz. Per un valore del parametro di famiglia associato, i nastri rotanti si trovano esattamente nelle posizioni richieste per avere una superficie incorporata.

Il giroide è l’unica superficie minima periodica triplamente incorporata conosciuta che possiede giunzioni triple e nessuna linea di simmetria riflessa, a differenza delle cinque superfici minime studiate da Anderson et al. nel 1990.

Il giroide si riferisce al membro che è nella famiglia associata della superficie Schwarz P, ma in realtà il giroide esiste in diverse famiglie che conservano varie simmetrie della superficie; una discussione più completa delle famiglie di queste superfici minime appare in superfici minime tripolarmente periodiche.

Curiosamente, come alcune altre superfici minime tripolarmente periodiche, la superficie giroide può essere approssimata trigonometricamente da una breve equazione:

sin x cos y + sin y cos z + sin z cos x = 0 {displaystyle \sin x\cos y+\sin y\cos z+\sin z\cos x=0}