Geometria differenziale

Geometria differenziale, branca della matematica che studia la geometria delle curve, delle superfici e dei manifold (gli analoghi superiori delle superfici). La disciplina deve il suo nome all’uso di idee e tecniche del calcolo differenziale, anche se la materia moderna usa spesso tecniche algebriche e puramente geometriche. Anche se le definizioni di base, le notazioni e le descrizioni analitiche variano ampiamente, le seguenti domande geometriche prevalgono: Come si misura la curvatura di una curva all’interno di una superficie (intrinseca) rispetto allo spazio circostante (estrinseca)? Come si può misurare la curvatura di una superficie? Qual è il percorso più breve all’interno di una superficie tra due punti sulla superficie? In che modo il percorso più breve su una superficie è collegato al concetto di linea retta?

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Mentre le curve erano state studiate fin dall’antichità, la scoperta del calcolo nel XVII secolo aprì lo studio di curve piane più complicate, come quelle prodotte dal matematico francese René Descartes (1596-1650) con il suo “compasso” (vedi Storia della geometria: geometria cartesiana). In particolare, il calcolo integrale portò a soluzioni generali degli antichi problemi di trovare la lunghezza dell’arco di curve piane e l’area di figure piane. Questo a sua volta aprì la strada all’investigazione di curve e superfici nello spazio – un’investigazione che fu l’inizio della geometria differenziale.

Alcune delle idee fondamentali della geometria differenziale possono essere illustrate dal regolo, una striscia a spirale spesso progettata dagli ingegneri per dare supporto strutturale a grandi cilindri di metallo come le ciminiere. Uno strake può essere formato tagliando una striscia anulare (la regione tra due cerchi concentrici) da una lastra piatta di acciaio e poi piegandola in un’elica che si avvolge a spirale intorno al cilindro, come illustrato in figura. Quale dovrebbe essere il raggio r dell’anello per produrre il miglior adattamento? La geometria differenziale fornisce la soluzione a questo problema definendo una misura precisa per la curvatura di una curva; poi r può essere regolato fino a quando la curvatura del bordo interno dell’anello corrisponde alla curvatura dell’elica.

Un’importante domanda rimane: La striscia anulare può essere piegata, senza allungarsi, in modo da formare una striscia attorno al cilindro? In particolare, ciò significa che le distanze misurate lungo la superficie (intrinseca) sono invariate. Due superfici si dicono isometriche se una può essere piegata (o trasformata) nell’altra senza cambiare le distanze intrinseche. (Per esempio, poiché un foglio di carta può essere arrotolato in un tubo senza allungarsi, il foglio e il tubo sono “localmente” isometrici solo localmente, perché collegando i due bordi del foglio si creano nuovi percorsi, e possibilmente più corti). Così, la seconda domanda diventa: La striscia anulare e il tubo sono isometrici? Per rispondere a questa e altre domande simili, la geometria differenziale ha sviluppato la nozione di curvatura di una superficie.

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